Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Encontre ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t para

z = e x + 2 y

x = s t

y = t s

Passo 1

Temos aí um caso em que a nossa função de fora, z , é uma função de duas variáveis, ( x , y ) , que por sua vez, são funções de outras duas variáveis, ( s , t ) .

E queremos calcular as derivadas parciais dessa função de fora, que nada mais é que uma função composta.

Que que a gente faz, que que a gente faz?

Regra da cadeia neles!

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas paciais de z em relação a x e a y :

z = e x + 2 y

∂ z ∂ x = e x + 2 y

∂ z ∂ y = 2 e x + 2 y

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de x :

x = s t

∂ x ∂ s = 1 t

∂ x ∂ t = - s t 2

Passo 4

E pra fechar, as derivadas parciais de y :

y = t s

∂ y ∂ s = - t s 2

∂ y ∂ t = 1 s

Passo 5

Agora é só substituir tudo nas fórmulas do passo 1 e correr pro abraço!

∂ z ∂ s = e x + 2 y 1 t + 2 e x + 2 y - t s 2

∂ z ∂ s = e x + 2 y t - 2 t e x + 2 y s 2

∂ z ∂ t = e x + 2 y - s t 2 + 2 e x + 2 y 1 s

∂ z ∂ t = - s e x + 2 y t 2 + 2 e x + 2 y s

Resposta

∂ z ∂ s = e x + 2 y t - 2 t e x + 2 y s 2

∂ z ∂ t = - s e x + 2 y t 2 + 2 e x + 2 y s

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t