Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2018.2, Questão 4b

Encontre z s e z t para

z = e x + 2 y

x = s t

y = t s

Passo 1

Temos aí um caso em que a nossa função de fora, z , é uma função de duas variáveis, ( x , y ) , que por sua vez, são funções de outras duas variáveis, ( s , t ) .

E queremos calcular as derivadas parciais dessa função de fora, que nada mais é que uma função composta.

Que que a gente faz, que que a gente faz?

Regra da cadeia neles!

z s = z x x s + z y y s

z t = z x x t + z y y t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas paciais de z em relação a x e a y :

z = e x + 2 y

z x = e x + 2 y

z y = 2 e x + 2 y

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de x :

x = s t

x s = 1 t

x t = - s t 2

Passo 4

E pra fechar, as derivadas parciais de y :

y = t s

y s = - t s 2

y t = 1 s

Passo 5

Agora é só substituir tudo nas fórmulas do passo 1 e correr pro abraço!

z s = e x + 2 y 1 t + 2 e x + 2 y - t s 2

z s = e x + 2 y t - 2 t e x + 2 y s 2

z t = e x + 2 y - s t 2 + 2 e x + 2 y 1 s

z t = - s e x + 2 y t 2 + 2 e x + 2 y s

Resposta

z s = e x + 2 y t - 2 t e x + 2 y s 2

z t = - s e x + 2 y t 2 + 2 e x + 2 y s

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