Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se z : R 2 → R é uma função de classe C 1 no plano que satisfaz a equação

z x , y + z y , x = 1

Então as suas derivadas parciais satisfazem a equação

∂ z ∂ x x , y + ∂ z ∂ y y , x = 0

OBS:

Essa questão tem um pequeno erro, a derivada de y na prova que achamos está x , y mas durante a resolução percebemos que na verdade ela deveria ser como está escrito, caso contrário não daria certo.

Passo 1

Para verificarmos se essa parada é verdadeira vamos tentar achar essas duas derivadas que ele deu na equação.

Mas só temos aquela relação

z x , y + z y , x = 1

Aqui não temos a função de z bem definida né? Mas repara que a segunda na verdade é uma função composta

z y , x = z g x , y

Onde

g x , y = y , x

Então vamos ter

z x , y + z g x , y = 1

Derivando isso em relação a x vamos ter

∂ z ∂ x x , y + ∂ ∂ x z g x , y = 0

Eu derivei em relação a x porque temos a derivada em relação a x ali em cima em x , y , depois pensamos em achar a derivada em relação a y ok?

Para aquela derivada da função composta vamos usar a regra da cadeia

∂ ∂ x z g x , y = ∇ z g x , y ∙ ∂ g ∂ x x , y

Vamos ter

∇ z g x , y = ∂ z ∂ x g x , y , ∂ z ∂ y g x , y = ∂ z ∂ x y , x , ∂ z ∂ y y , x

E

∂ g ∂ x x , y = ∂ ∂ x y , ∂ ∂ x x = 0,1

Então

∂ ∂ x z g x , y = ∂ z ∂ x y , x , ∂ z ∂ y y , x ∙ 0,1

∂ ∂ x z g x , y = ∂ z ∂ y y , x

Vamos ter

∂ z ∂ x x , y + ∂ z ∂ y y , x = 0

E por acaso isso é exatamente o que queríamos provar. Então essa afirmação é verdadeira

Resposta

Verdadeiro

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t