Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 6

Seja

w = x 2 + y 2 - z ²

x = ρ sen ϕ cos θ

y = ρ sen ϕ sen θ

z = ρ cos ϕ

Calcule w ρ , w ϕ e w θ .

Passo 1

Essa questão vai ser fácil, porém, chata!

Temos que calcular essas derivadas parciais pela regra da cadeia. Assim

w ρ = w x x ρ + w y y ρ + w z z ρ

w ϕ = w x x ϕ + w y y ϕ + w z z ϕ

E

w θ = w x x θ + w y y θ + w z z θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar por w ρ   :

w ρ = w x x ρ + w y y ρ + w z z ρ

w ρ = 2 x sen ϕ cos θ + 2 y sen ϕ sen θ - 2 z cos ϕ

Mas, como

x = ρ sen ϕ cos θ

y = ρ sen ϕ sen θ

z = ρ cos ϕ

Ficamos com

w ρ = 2 ρ sen ϕ cos θ sen ϕ cos θ + 2 ρ sen ϕ sen θ sen ϕ sen θ - 2 ρ cos ϕ cos ϕ

w ρ = 2 ρ sen ² ϕ cos ² θ + 2 ρ sen ² ϕ sen ² θ - 2 ρ cos ² ϕ

w ρ = 2 ρ sen 2 ϕ cos 2 θ + sen 2 θ - 2 ρ cos 2 ϕ )

w ρ = 2 ρ sen 2 ϕ - 2 ρ cos 2 ϕ

w ρ = - 2 ρ ( cos 2 ϕ - sen 2 ϕ )

w ρ = - 2 ρ cos 2 ϕ

Passo 3

Agora w ϕ :

w ϕ = w x x ϕ + w y y ϕ + w z z ϕ

w ϕ = 2 x ρ cos ϕ cos θ + 2 y ρ cos ϕ sen θ - 2 z - ρ sen ϕ

Mas como

x = ρ sen ϕ cos θ

y = ρ sen ϕ sen θ

z = ρ cos ϕ

Ficamos com

w ϕ = 2 ρ sen ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ + 2 ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ sen θ - 2 ρ cos ϕ - ρ sen ϕ

w ϕ = 2 ρ ² sen ϕ cos ϕ cos 2 θ + 2 ρ ² sen ϕ cos ϕ sen 2 θ + 2 ρ ² cos ϕ sen ϕ

w ϕ = 2 ρ ² sen ϕ cos ϕ ( cos 2 θ + sen 2 θ + 1 )

w ϕ = 2 ρ ² sen ϕ cos ϕ ( 2 )

w ϕ = 2 ρ ² sen 2 ϕ

Passo 4

Por fim, vamos para w θ :

w θ = w x x θ + w y y θ + w z z θ

w θ = 2 x - ρ sen ϕ sen θ + 2 y ρ sen ϕ cos θ - 2 z 0

Mas como

x = ρ sen ϕ cos θ

y = ρ sen ϕ sen θ

z = ρ cos ϕ

Ficamos com

w θ = 2 ρ sen ϕ cos θ - ρ sen ϕ sen θ + 2 ρ sen ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ

w θ = - 2 ρ ² sen 2 ϕ cos θ sen θ + 2 ρ ² sen ² ϕ sen θ cos θ

w θ = 0

Passo 5

Criei esse passo aqui só pra reforçar como essa questão foi chata!!

Mas fica ligado nas identidades trigonométricas, porque se a gente não lembrasse delas, não íamos conseguir fazer essa questão .-.

Resposta

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