Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja

F u , v = f x u , v , y u , v ,   v > 0

em que

x u , v = u 2 + v 2 2 ,                   y u , v = u v

a) Calcule F u e F v em função de u , v , f x e f y .

b) Calcule f x e f y em função u , v , F u e F v .

c) Suponha, agora, que F u , v = v . Descubra a constante c que satisfaz:

2 x y f x + 1 + y 2 f y = c

Passo 1

a) Aqui tudo o que temos que fazer é usar a regra da cadeia! Veja, colocando x u , v e y u , v na função F , teremos:

F u , v = f u 2 + v 2 2 , u v

Jogando a regra da cadeia na parada, temos:

F u = δ f δ x . δ x δ u + δ f δ y . δ y δ u

Show? Agora, só precisamos encontrar x u e y u , pois o enunciado pede pra deixar em função de f x e f y ;)

Passo 2

Encontrando a derivada parcial de x em relação a u , temos:

x u , v = u 2 + v 2 2

x u u , v = u

E, para y u , teremos:

y u , v = u v

y u = 1 v

Colocando esses valores na expressão para a derivada de F em relação a u , teremos:

F u = δ f δ x . u + δ f δ y . 1 v

F u = f x . u + f y . 1 v

Passo 3

Beleza, agora temos que fazer o mesmo para F v , certo? Pela regra da cadeia, temos:

F v = f x . x v + f y . y v

Encontrando a derivada parcial de x em relação a v , temos:

x u , v = u 2 + v 2 2

x v = v

E, para y v , temos:

y u , v = u v

y v = - u v 2

Colocando esses valores na expressão de F v , teremos:

F v = f x . v - f y . u v 2

Prontinho :D só isso para o item a !

Passo 4

b) Bom, já temo F u e F v em função de f x , f y , u e v . Para encontrar f x e f y em função do resto, é simplesmente resolver um sistema! Temos essas duas equações:

F u = f x . u + f y . 1 v F v = f x . v - f y . u v 2

E agora é só dar um jeito de isolar o f x e o f y !

Show, começando pelo f x , podemos multiplicar a equação de baixo por v u , e teremos:

F v . v u = f x . v . v u - f y . u v 2 . v u =

F v . v u = f x . v 2 u - f y . 1 v

Agora, se somarmos com a equação de cima, teremos:

F u + F v . v u = f x . v 2 u - f y . 1 v + f x . u + f y . 1 v

E, com isso, cancelamos o termos f y :

F u + F v . v u = f x . v 2 u + f x . u

Podemos, agora, colocar o f x   em evidência, e fica:

F u + F v . v u = f x . v 2 u + u

E, isolando ele, temos:

f x = F u + F v . v u v 2 u + u

E pronto, aí já está o f x em função de F u , F v , u   e v :D

Passo 5

Agora, temos que encontrar a expressão para o f y , da mesma forma que fizemos para o f x . Lembrando das duas equações:

F u = f x . u + f y . 1 v F v = f x . v - f y . u v 2

Podemos multiplicar a de cima por v , e teremos:

F u . v = f x . u v + f y . v v

E, multiplicando a segunda por – u , temos:

- F v . u = - f x . u v + f y . u 2 v 2

Agora, somando uma com a outra, temos:

F u . v - F v . u = f x . u v + f y . - f x . u v + f y . u 2 v 2

E, assim, cancelamos o f x , e temos:

F u . v - F v . u = f y + f y . u 2 v 2

Colocando o f y em evidência, teremos:

F u . v - F v . u = f y 1 + u 2 v 2

E, por fim, isolando ele, fica:

f y = F u . v - F v . u 1 + u 2 v 2

Passo 6

c) Para encontrar essa constante c , o que temos que fazer é desenvolver a expressão que ela vale:

2 x y f x + 1 + y 2 f y

Sabemos, agora que F u , v = v , certo? Então, F u = 0 , e F v = 1 , pois basta derivar v em relação a u e a v !

Sabendo disso, podemos ver quanto vale f x e f y , pelas expressões do item anterior:

f x = F u + F v . v u v 2 u + u

Substituindo F u = 0 e F v = 1 , temos:

f x = v u v 2 u + u

Fazendo o mesmo para f y , temos:

f y = F u . v - F v . u 1 + u 2 v 2

f y = - u 1 + u 2 v 2

Passo 7

Colocando, agora, tudo na expressão que temos para c ,

2 x y f x + 1 + y 2 f y

2 x y v u v 2 u + u + 1 + y 2 - u 1 + u 2 v 2

Colocando os valores para x e y que nos deram em função de u e v , fica:

2 u 2 + v 2 2 u v v u v 2 u + u + 1 + u 2 v 2 - u 1 + u 2 v 2

Agora, vamos simplificando as expressões até encontrar algum valor! Perceba que esse 2 do lado esquerdo corta com o 2 do denominador da fração que ele multiplica:

u 2 + v 2 u v v u v 2 u + u + 1 + u 2 v 2 - u 1 + u 2 v 2

E o u v corta com o v u :

u 2 + v 2 1 v 2 u + u + 1 + u 2 v 2 - u 1 + u 2 v 2

E o 1 + u 2 v 2 que está multiplicando - u 1 + u 2 v 2 pode ser cortado em cima e embaixo:

u 2 + v 2 1 v 2 u + u - u

E, ainda podemos colocar que v 2 u + u = v 2 + u 2 u , e, então, teremos:

u 2 + v 2 1 v 2 + u 2 u - u =

u 2 + v 2 u v 2 + u 2 - u

Cortando, agora, o u 2 + v 2 , temos:

u - u = 0

Ou seja, a constante é c vale 0 , pois a expressão foi zerada!

Resposta

a) F u = f x . u + f y . 1 v e F v = f x . v + f y . - u v 2

b)   f x = F u + F v . v u v 2 u + u e f y = F u . v - F v . u 1 + u 2 v 2

c) c = 0

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t