Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável. Defina

ϕ s , t = f x s , t , y s , t

Onde

x = x s , t = s t

y = y s , t = t s

Calcule

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t

Passo 1

Para calcular a expressão pedida, temos que calcular essas derivadas parciais. E para isso, precisamos usar a regra da cadeia de dois parâmetros, pois a nossa função ϕ é uma função composta de f , onde f é uma função de duas variáveis x e y e essas duas variáveis são funções de outras duas variáveis s e t .

Assim, temos

∂ ϕ ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos começar por ∂ ϕ ∂ s :

∂ ϕ ∂ s = ∂ f ∂ x 1 t + ∂ f ∂ y - t s 2

Agora ∂ ϕ ∂ t :

∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x - s t 2 + ∂ f ∂ y 1 s

Passo 3

Substituindo agora na expressão que precisamos calcular, temos:

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = s ∂ f ∂ x 1 t + ∂ f ∂ y - t s 2 + t   ∂ f ∂ x - s t 2 + ∂ f ∂ y 1 s =

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x s t - ∂ f ∂ y t s - ∂ f ∂ x s t + ∂ f ∂ y t s

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = ∂ f ∂ x s t - s t + ∂ f ∂ y t s - t s

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = 0

Resposta

s ∂ ϕ ∂ s + t   ∂ ϕ ∂ t = 0

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t