Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável. Sejam

x r , θ = r cos ⁡ θ

y r , θ = r sen ⁡ θ

E

z r , θ = f x r , θ , y ( r , θ )

Suponha que ∂ z ∂ r = 2 e ∂ z ∂ θ = 0 no ponto r 0 , θ 0 = 2 , π 4 . Então,

3 ∂ f ∂ x 1,1 + 2 ∂ f ∂ y 1,1 =

  1. 10
  2. 5
  3. 2
  4. 1 5
  5. 10 2

Passo 1

Temos

z r , θ = f x r , θ , y ( r , θ )

x r , θ = r cos ⁡ θ

y r , θ = r sen ⁡ θ

Para achar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia:

∂ z ∂ r = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

∂ z ∂ θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ θ

As derivadas parciais de z em relação a r e θ a questão já deu pra gente. As derivadas parciais de x e de y a gente também consegue calcular.

Então vamos mandar ver!

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de x e y :

x r , θ = r cos ⁡ θ

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ

∂ x ∂ θ = - r sen ⁡ θ

Substituindo no ponto r 0 , θ 0 = 2 , π 4 :

∂ x ∂ r 2 , π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2

∂ x ∂ θ 2 , π 4 = - 2 sen ⁡ π 4 = - 1

E

y r , θ = r sen ⁡ θ

∂ y ∂ r = sen ⁡ θ

∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

No ponto r 0 , θ 0 = 2 , π 4 :

∂ y ∂ r 2 , π 4 = sen ⁡ π 4 = 2 2

∂ y ∂ θ 2 , π 4 = 2 cos ⁡ π 4 = 1

Passo 3

Agora vamos substituir os dados que a gente tem.

Para a derivada parcial de z em relação a r :

∂ z ∂ r = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

2 = ∂ f ∂ x 2 2 + ∂ f ∂ y 2 2

E para a derivada parcial de z em relação a θ :

∂ z ∂ θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ θ

0 = ∂ f ∂ x - 1 + ∂ f ∂ y

Passo 4

Ficamos então com o sistema:

2 = ∂ f ∂ x 2 2 + ∂ f ∂ y 2 2

0 = ∂ f ∂ x - 1 + ∂ f ∂ y

Arrumando melhor essa parada:

2 2 ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 2 - ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0

Da segunda equação a gente tira que

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y

Substituindo isso na primeira equação:

2 2 2 ∂ f ∂ x = 2

∂ f ∂ x = 1

Assim,

∂ f ∂ y = 1

Passo 5

Agora, pra fechar, vamos substituir na equação que a questão quer saber:

3 ∂ f ∂ x 1,1 + 2 ∂ f ∂ y 1,1 = 3.1 + 2.1 = 5

Prontinho!

Resposta

L e t r a   b

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t