Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2015.1, Questão ME1

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y 0,0 = 3 e f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores de g x ( 0,0 ) e g y 0,0 são respectivamente:

(a) 6 e 2

(b) Nenhuma das anteriores

(c) 13 e 10

(d) 6 e 9

(e) -5 e 2

Passo 1

Pela regra da cadeia, temos que:

g x x , y = f x f ( x , y , f ( x , y ) ) f x x , y + f y f ( x , y , f ( x , y ) ) f x x , y

g y x , y = f x f ( x , y , f ( x , y ) ) f y x , y + f y f ( x , y , f ( x , y ) ) f y x , y

Opa, pera lá, essa fórmula tá diferente do que a gente tá acostumado pra regra da cadeia, que papo é esse????

Então, na verdade ela tá diferente, mas não tá (Q?).

As fórmulas que estamos acostumados são:

g u , v = f x u , v ,   y u , v

g u = f x x u + f y y u

g v = f x x v + f y y v

Mas no nosso caso aqui nessa questão, o que acontece é que em vez de termos

g u , v = f x u , v ,   y u , v

Temos

g x , y = f f x , y , f x , y

Isso significa que

x u , v = f ( x , y )

y u , v = f ( x , y )

Por isso que as parcelas que eram x u e y u e x v e y v viraram f x e f y , ou seja,

x u = f x

y u = f x

x v = f y

y v = f y

Porque agora nosso x = y = f ( x , y ) e nosso u = x e v = y .

Uma confusão danada, não é mesmo? Mas é isso aí

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pois é, ficou meio bizarro, mas substituindo vamos ter:

g x 0,0 = f x 0,0 . f x f 0,0 , f 0,0 + f x 0,0 . f y f 0,0 , f 0,0

E como f 0,0 = 1 , então f x f 0,0 , f 0,0 = f x 1,1 = - 1 e f y f 0,0 , f 0,0 = f y 1,1 = 4 .

g x 0,0 = 2 . - 1 + 2.4 = - 2 + 8 = 6

Também vamos ter:

g y 0,0 = f y 0,0 . f x f 0,0 , f 0,0 + f y 0,0 . f y f 0,0 , f 0,0

g y 0,0 = 3 . - 1 + 3.4 = - 3 + 12 = 9

Resposta

Alternativa (d)

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