Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y 0,0 = 3 e f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores de g x ( 0,0 ) e g y 0,0 são respectivamente:

(a) 6 e 2

(b) Nenhuma das anteriores

(c) 13 e 10

(d) 6 e 9

(e) -5 e 2

Passo 1

Pela regra da cadeia, temos que:

∂ g ∂ x x , y = ∂ f ∂ x f ( x , y , f ( x , y ) ) ∙ ∂ f ∂ x x , y + ∂ f ∂ y f ( x , y , f ( x , y ) ) ∙ ∂ f ∂ x x , y

∂ g ∂ y x , y = ∂ f ∂ x f ( x , y , f ( x , y ) ) ∙ ∂ f ∂ y x , y + ∂ f ∂ y f ( x , y , f ( x , y ) ) ∙ ∂ f ∂ y x , y

Opa, pera lá, essa fórmula tá diferente do que a gente tá acostumado pra regra da cadeia, que papo é esse????

Então, na verdade ela tá diferente, mas não tá (Q?).

As fórmulas que estamos acostumados são:

g u , v = f x u , v ,   y u , v

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Mas no nosso caso aqui nessa questão, o que acontece é que em vez de termos

g u , v = f x u , v ,   y u , v

Temos

g x , y = f f x , y , f x , y

Isso significa que

x u , v = f ( x , y )

y u , v = f ( x , y )

Por isso que as parcelas que eram ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u e ∂ x ∂ v e ∂ y ∂ v viraram ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , ou seja,

∂ x ∂ u = ∂ f ∂ x

∂ y ∂ u = ∂ f ∂ x

∂ x ∂ v = ∂ f ∂ y

∂ y ∂ v = ∂ f ∂ y

Porque agora nosso x = y = f ( x , y ) e nosso u = x e v = y .

Uma confusão danada, não é mesmo? Mas é isso aí

Passo 2

Pois é, ficou meio bizarro, mas substituindo vamos ter:

g x 0,0 = f x 0,0 . f x f 0,0 , f 0,0 + f x 0,0 . f y f 0,0 , f 0,0

E como f 0,0 = 1 , então f x f 0,0 , f 0,0 = f x 1,1 = - 1 e f y f 0,0 , f 0,0 = f y 1,1 = 4 .

⇒ g x 0,0 = 2 . - 1 + 2.4 = - 2 + 8 = 6

Também vamos ter:

g y 0,0 = f y 0,0 . f x f 0,0 , f 0,0 + f y 0,0 . f y f 0,0 , f 0,0

⇒ g y 0,0 = 3 . - 1 + 3.4 = - 3 + 12 = 9

Resposta

Alternativa (d)

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t