Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja F x , y uma função diferenciável tal que F 1,1 = 1 , ∂ F ∂ x 1,1 = 2 e ∂ F ∂ y 1,1 = 3 . Considere G x , y = F F x , y , F x , y . O que podemos afirmar sobre ∇ G 1,1 ?

a ∇ G 1,1 faz ângulo de 10 graus com ∇ F 1,1

b ∇ G 1,1 é ortogonal a ∇ F 1,1

c ∇ G 1,1 é paralelo a ∇ F 1,1

d ∇ G 1,1 faz ângulo de 45 graus com ∇ F 1,1

e ∇ G 1,1 faz ângulo de 30 graus com ∇ F 1,1

Passo 1

Sabemos que ∇ G 1,1 = ∂ G 1,1 ∂ x , ∂ G 1,1 ∂ y

Porém:

∂ G 1,1 ∂ x = ∂ F F 1,1 , F 1,1 ∂ x

∂ G 1,1 ∂ y = ∂ F F 1,1 , F 1,1 ∂ y

Então vai rolar uma regra da cadeia:

∂ G 1,1 ∂ x = ∂ F F x , y , F x , y ∂ x = ∂ F 1,1 ∂ x ∙ ∂ F 1,1 ∂ x + ∂ F 1,1 ∂ y ∙ ∂ F 1,1 ∂ x = 4 + 6 = 10

∂ G 1,1 ∂ y = ∂ F F 1,1 , F 1,1 ∂ y = ∂ F 1,1 ∂ x ∙ ∂ F 1,1 ∂ y + ∂ F 1,1 ∂ y ∙ ∂ F 1,1 ∂ y = 15

Portanto:

∇ G 1,1 = ∂ G 1,1 ∂ x , ∂ G 1,1 ∂ y = 10,15

Logo o vetor ∇ G 1,1 é paralelo ao vetor ∇ F 1,1 = ∂ F ∂ x 1,1 , ∂ F ∂ y 1,1 = 2,3 já que eles são múltiplos um do outro!

Resposta

Letra c

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t