Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y ( 0,0 ) = 3 , f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores das derivadas parciais g x 0,0 e g y 0,0 são respectivamente:

  1. 13   e 10
  2. 6   e 9
  3. 6   e 2
  4. - 5   e 2
  5. Não sei

Passo 1

Vamos começar estudando o ponto dado.

Ele fornece x 0 = 0 ; y 0 = 0 . Então, vamos ter: g 0,0 = f f 0,0 ,   f 0,0 = f 1,1 . Beleza? As derivadas parciais serão:

∂ g ∂ x 0,0 = ∂ f ∂ x f 0,0 , f ( 0,0 ) ∂ f ∂ x 0,0 + ∂ f ∂ y f 0,0 , f ( 0,0 ) ∂ f ∂ x 0,0

E

∂ g ∂ y 0,0 = ∂ f ∂ x f 0,0 , f ( 0,0 ) ∂ f ∂ y 0,0 + ∂ f ∂ y f 0,0 , f ( 0,0 ) ∂ f ∂ y 0,0

Passo 2

Ajeitando, temos:

∂ g ∂ x 0,0 = ∂ f ∂ x 1,1 ∂ f ∂ x 0,0 + ∂ f ∂ y 1,1 ∂ f ∂ x 0,0

Substituindo:

∂ g ∂ x 0,0 = - 1 2 + 4 2 = 6

Temos também:

∂ g ∂ y 0,0 = ∂ f ∂ x 1,1 ∂ f ∂ y 0,0 + ∂ f ∂ y 1,1 ∂ f ∂ y 0,0

Substituindo:

∂ g ∂ y 0,0 = - 1 3 + 4 3 = 9

Resposta

b) 6   e 9

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t