Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2017.2, Questão E5

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável em todos os pontos de R 2 e

g u , v = f u + cos v , sen u + v

Considere a seguinte tabela de valores:

Quanto valem g u ( 0,0 ) e g v ( 0,0 ) , respectivamente?

  1. 5   e   3
  2. 3   e - 2
  3. 5   e   1
  4. 2   e - 1
  5. - 1   e   2

Passo 1

Temos

g u , v = f u + cos v , sen u + v

Então

x u , v = u + cos v

y u , v = sen u + v

Para achar essas derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia:

g u = f x x u + f y y u

g v = f x x v + f y y v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então calculando as derivadas parciais de x e de y que é a única coisa que vamos conseguir calcular. O resto teremos que olhar na tabela.

As derivadas parciais de x são:

x u = 1

x v = - sen v

E as derivadas parciais de y são:

y u = cos u

y v = 1

Substituindo no ponto ( 0,0 ) , temos

x u ( 0,0 ) = 1

x v ( 0,0 ) = 0

y u ( 0,0 ) = 1

y v ( 0,0 ) = 1

Passo 3

Agora é só substituir na fórmula da regra da cadeia. Mas fica ligado que f é função de x , y e quando u , v = ( 0,0 ) , x , y = ( 1,0 )

g u ( 0,0 ) = f x ( 1,0 ) x u ( 0,0 ) + f y ( 1,0 ) y u ( 0,0 )

g v ( 0,0 ) = f x ( 1,0 ) x v ( 0,0 ) + f y ( 1,0 ) y v ( 0,0 )

Substituindo os valores que encontramos no passo 2 e os valores da tabela:

g u 0,0 = - 3.1 + 2.1 = - 1

g v 0,0 = - 3.0 + 2.1 = 2

Resposta

L e t r a   e

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