Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2013.2, Questão ME6

Seja z = 4 e x ln y ,onde

x = ln u cos v               e               y = u   s e n   v

Calcule z v quando u = 2 e v = π 4 .

  1. 4 2 1 - ln 2
  2. - 4 2 1 + ln 2
  3. 4 2 1 + ln 2
  4. 2 1 + ln 2
  5. nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Vamos começar fazendo

r u , v = ln u cos v , u   s e n   v

Ele quer

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4

Que é a derivada de z em relação a v nos valores u = 2 , v = π / 4

Vamos ter

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = z r 2 , π / 4 v r 2 , π / 4

Vamos começar calculando r 2 , π / 4

r 2 , π / 4 = ln 2 cos π / 4 , 2   s e n   π / 4

r 2 , π / 4 = ln 2 2 2 , 2 2 2

r 2 , π / 4 = ln 2 , 2

Que é o ponto que ele fala no enunciado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O gradiente fica

z x , y = 4 e x ln y , 4 e x y

Queremos

z r 2 , π / 4 = z ln 2 , 2 = 4 e ln 2 ln 2 , 4 e ln 2 2

z r 2 , π / 4 = 4 2 ln 2 , 4 2 2 = 4 2 ln 2 , 4

Passo 3

Vamos agora achar a derivada da parametrização

v r u , v = - u sen v u cos v , u cos v = - tan v , u cos v

Substituindo os valores de v e u

v r 2 , π / 4 = - tan π / 4 , 2 cos π / 4

v r 2 , π / 4 = - 1,2 2 2 = - 1 , 2

Passo 4

A derivada então fica

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = z r 2 , π / 4 v r 2 , π / 4

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = 4 2 ln 2 , 4 - 1 , 2

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = - 4 2 ln 2 + 4 2

d d v z r u , v u = 2 , v = π / 4 = 4 2 1 - ln 2

Resposta

Alternativa (a)

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