Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 225, exercício 17

Seja

g x , y = x 2 + y 2 f ( u , v )

Onde

u = 2 x - y

v = x + 2 y

Mostre que

g x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 f u + f v

Passo 1

Para calcular g x temos que usar a regra do produto, e foi isso que ele fez ali em cima:

g x = x 2 + y 2 x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) f x

No fundo, o que ele quer que a gente mostre é que

f x = 2 f u + f v

f é uma função de u e v e u e v são funções de outras duas variáveis x e y . Então, tudo o que temos que fazer é aplicar a regra da cadeia, né?

f x = f u u x + f v v x

Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( u , v ) :

f u , v = f u , f v

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de u :

u = 2 x - y

u x , y = u x , u y = ( 2 , - 1 )

Passo 4

E o gradiente de v :

v = x + 2 y

v x , y = v x , v y = ( 1,2 )

Passo 5

-

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar na fórmula do passo 1 !

f x = f u u x + f v v x

f x = 2 f u + 1 f v

Show!

f x = 2 f u + f v

Então

g x = x 2 + y 2 x . f u , v + ( x 2 + y 2 ) f x

g x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 f u + f v

Resposta

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