Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja

f x , y = ln ⁡ 1 - x e 1 - y - x e y

Com

1 - x e 1 - y - x e y > 0

Seja

x u , v = 1 - u + v 3

y u , v = 1 - u - v 3

Considere g u , v = f x u , v ,   y u , v .

Calcule ∂ g ∂ v u 0 , v 0 , onde u 0 = 1 2 1 + 1 2 3 e v 0 = 1 2 1 - 1 2 3

Passo 1

Opa, derivada de função composta. Partiu usar regra da cadeia!

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f :

f x , y = ln ⁡ 1 - x e 1 - y - x e y

∂ f ∂ x = 1 1 - x e 1 - y - x e y ∙ - e 1 - y - e y = - e 1 - y + e y 1 - x e 1 - y - x e y

∂ f ∂ y = 1 1 - x e 1 - y - x e y ∙ - 1 - x e 1 - y - x e y = - 1 - x e 1 - y + x e y 1 - x e 1 - y - x e y

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas de x e de y em relação a v :

x u , v = 1 - u + v 3

∂ x ∂ v = - 3 u + v 2

E

y u , v = 1 - u - v 3

∂ y ∂ v = - 3 u - v 2 - 1 = 3 u - v 2

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

∂ g ∂ v = - e 1 - y + e y 1 - x e 1 - y - x e y - 3 u + v 2 - 1 - x e 1 - y + x e y 1 - x e 1 - y - x e y 3 u - v 2

Passo 5

Beleza, mas não é só isso que queremos. Ainda precisamos calcular essa derivada quando u 0 = 1 2 1 + 1 2 3 e v 0 = 1 2 1 - 1 2 3 .

Mas para isso, antes de sair substituindo, precisamos descobrir os valores correspondentes de x 0 e y 0 :

x u 0 , v 0 = 1 - 1 2 1 + 1 2 3 + 1 2 1 - 1 2 3 3 = 1 - 1 2 + 1 2 2 3 + 1 2 - 1 2 2 3 3 = 0

y u 0 , v 0 = 1 - 1 2 + 1 2 2 3 - 1 2 + 1 2 2 3 3 = 1 2

Passo 6

Pronto, agora sim podemos substituir na fórmula da regra da cadeia.

∂ g ∂ v u 0 , v 0 = - e 1 - 1 2 + e 1 2 1 - 0 e 1 - 1 2 - 0 . e 1 2 - 3 1 2 1 + 1 2 3 + 1 2 1 - 1 2 3 2 - 1 - 0 e 1 - 1 2 + 0 . e 1 2 1 - 0 e 1 - 1 2 - 0 . e 1 2 3 1 2 1 + 1 2 3 - 1 2 1 - 1 2 3 2

∂ g ∂ v u 0 , v 0 = - e 1 2 + e 1 2 e 1 2 - 3 1 2 + 1 2 2 3 + 1 2 - 1 2 2 3 2 - e 1 2 e 1 2 3 1 2 + 1 2 2 3 - 1 2 + 1 2 2 3 2

∂ g ∂ v u 0 , v 0 = - 2 - 3 1 2 - 1 3 1 2 3 2

∂ g ∂ v u 0 , v 0 = 6 - 3 2 2 3

Resposta

∂ g ∂ v u 0 , v 0 = 6 - 3 2 2 3

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t