Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2011.1, Questão 2

Seja z = x s e n x y .

  1. Verifique que x z x x , y + y z y x , y = z
  2. Se x t = cos t + 2 s e y t = s e n t - 2 s , calcule z t e z s .

Passo 1

  1. Calculando as derivadas parciais temos:
  2. z x x , y = s e n x y + x y cos x y

    z y x , y = - x y 2 2 c o s x y

    Substiuindo na equação:  

    x z x x , y + y z y x , y = z

    x s e n x y + x y cos x y + y - x 2 y 2 c o s x y = z

    x s e n x y + x 2 y cos x y - x 2 y cos x y = z

    Portanto, a equação é verdadeira.

    Passo 2

  3. Pela regra da cadeia :

z t t , s = z x x , y x t t , s + z y x , y y t t , s

E

z s t , s = z x x , y x s t , s + f y x , y y s t , s

Já vimos que

z x x , y = s e n x y + x y cos x y

z y x , y = - x y 2 2 c o s x y

Calculando:

x t t , s = - s e n t + 2 s

x s t , s = - 2 s e n t + 2 s

y t t , s = cos t - 2 s

y s t , s = - 2 cos t - 2 s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo:

z t t , s = z x x , y x t t , s + z y x , y y t t , s

z t t , s = s e n x y + x y cos x y - s e n t + 2 s + - x y 2 2 c o s x y cos t - 2 s

Lembrando que:

x t = cos t + 2 s e y t = s e n t - 2 s

Vamos ter:

z t t , s =

s e n cos t + 2 s s e n t - 2 s + cos t + 2 s s e n t - 2 s cos cos t + 2 s s e n t - 2 s - s e n t + 2 s + - cos t + 2 s s e n t - 2 s 2 2 c o s cos t + 2 s s e n t - 2 s cos t - 2 s

Passo 3

Ainda falta:

z s t , s = z x x , y x s t , s + z y x , y y s t , s

Substituindo:

z s t , s = s e n x y + x y cos x y - 2 s e n t + 2 s + - x y 2 2 c o s x y - 2 cos t - 2 s

Lembrando que:

x t = cos t + 2 s e y t = s e n t - 2 s

Vamos ter:

z s x , y =

s e n cos t + 2 s   s e n t - 2 s + cos t + 2 s   s e n t - 2 s cos cos t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 s e n t + 2 s + - cos t + 2 s   s e n t - 2 s 2 2 c o s cos t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 cos t - 2 s

Resposta

a) x z x x , y + y z y x , y = z é verdadeira

b) z t t , s =

s e n cos t + 2 s s e n t - 2 s + cos t + 2 s s e n t - 2 s cos cos t + 2 s s e n t - 2 s - s e n t + 2 s + - cos t + 2 s s e n t - 2 s 2 2 c o s cos t + 2 s s e n t - 2 s cos t - 2 s

z s x , y =

s e n cos t + 2 s   s e n t - 2 s + cos t + 2 s   s e n t - 2 s cos cos t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 s e n t + 2 s + - cos t + 2 s   s e n t - 2 s 2 2 c o s cos t + 2 s   s e n t - 2 s - 2 cos t - 2 s

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