Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Sejam

f = f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

x = x u , v , w = u v + w

y = y u , v , w = u w + v

z = z u , v , w = v w + u

Calcule ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v e ∂ f ∂ w para u , v , w = 1,1 , 1

Passo 1

Vamos primeiro descobrir qual o x ,   y   e z correspondentes a u , v , w = 1,1 , 1 :

x u , v , w = u v + w ⇒ x 1,1 , 1 = 2

y u , v , w = u w + v ⇒ y 1,1 , 1 = 2

z u , v , w = v w + u ⇒ z 1,1 , 1 = 2

Então, temos que x , y , z = ( 2,2 , 2 ) quando u , v , w = 1,1 , 1 .

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular o gradiente de f , x , y e z e no final a gente substitui os pontos.

Começando pelo gradiente de f :

f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ( 2 x , 3 y 2 , 4 z 3 )

Passo 3

Agora o gradiente de x :

x u , v , w = u v + w

∇ x u , v , w = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v , ∂ x ∂ w = v , u , 1

Passo 4

Agora o gradiente de y :

y u , v , w = u w + v

∇ y u , v , w = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v , ∂ y ∂ w = w , 1 , u

Passo 5

E, o gradiente de z :

z u , v , w = v w + u

∇ z u , v , w = ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v , ∂ z ∂ w = ( 1 , w , v )

Passo 6

Agora vamos substituir na fórmula e, depois, nos pontos correspondentes:

Para a derivada em relação a u :

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

∂ f ∂ u = 2 x . v + 3 y 2 . w + 4 z 3 . 1

∂ f ∂ u ( 1,1 , 1 ) = ∂ f ∂ x ( 2,2 , 2 ) ∂ x ∂ u ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ y ( 2,2 , 2 ) ∂ y ∂ u ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ z ( 2,2 , 2 ) ∂ z ∂ u ( 1,1 , 1 )

∂ f ∂ u 1,1 , 1 = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Passo 7

Para a derivada em relação a v :

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

∂ f ∂ v = 2 x . u + 3 y 2 . 1 + 4 z 3 . w

∂ f ∂ v ( 1,1 , 1 ) = ∂ f ∂ x ( 2,2 , 2 ) ∂ x ∂ v ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ y ( 2,2 , 2 ) ∂ y ∂ v ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ z ( 2,2 , 2 ) ∂ z ∂ v ( 1,1 , 1 )

∂ f ∂ v = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Passo 8

E, finalmente (!!!), para a derivada em relação a w :

∂ f ∂ w = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

∂ f ∂ w = 2 x . 1 + 3 y . u + 4 z 3 . v

∂ f ∂ w ( 1,1 , 1 ) = ∂ f ∂ x ( 2,2 , 2 ) ∂ x ∂ w ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ y ( 2,2 , 2 ) ∂ y ∂ w ( 1,1 , 1 ) + ∂ f ∂ z ( 2,2 , 2 ) ∂ z ∂ w ( 1,1 , 1 )

∂ f ∂ w = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Viu!? É quase igual ao caso II da regra da cadeia.

Resposta

∂ f ∂ u ( 1,1 , 1 ) = 48

∂ f ∂ v ( 1,1 , 1 ) = 48

∂ f ∂ w ( 1,1 , 1 ) = 48

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t