Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Elaboração própria

Sejam

f = f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

x = x u , v , w = u v + w

y = y u , v , w = u w + v

z = z u , v , w = v w + u

Calcule f u , f v e f w para u , v , w = 1,1 , 1

Passo 1

Vamos primeiro descobrir qual o x ,   y   e z correspondentes a u , v , w = 1,1 , 1 :

x u , v , w = u v + w x 1,1 , 1 = 2

y u , v , w = u w + v y 1,1 , 1 = 2

z u , v , w = v w + u z 1,1 , 1 = 2

Então, temos que x , y , z = ( 2,2 , 2 ) quando u , v , w = 1,1 , 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular o gradiente de f , x , y e z e no final a gente substitui os pontos.

Começando pelo gradiente de f :

f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

f x , y , z = f x , f y , f z = ( 2 x , 3 y 2 , 4 z 3 )

Passo 3

Agora o gradiente de x :

x u , v , w = u v + w

x u , v , w = x u , x v , x w = v , u , 1

Passo 4

Agora o gradiente de y :

y u , v , w = u w + v

y u , v , w = y u , y v , y w = w , 1 , u

Passo 5

E, o gradiente de z :

z u , v , w = v w + u

z u , v , w = z u , z v , z w = ( 1 , w , v )

Passo 6

Agora vamos substituir na fórmula e, depois, nos pontos correspondentes:

Para a derivada em relação a u :

f u = f x x u + f y y u + f z z u

f u = 2 x . v + 3 y 2 . w + 4 z 3 . 1

f u ( 1,1 , 1 ) = f x ( 2,2 , 2 ) x u ( 1,1 , 1 ) + f y ( 2,2 , 2 ) y u ( 1,1 , 1 ) + f z ( 2,2 , 2 ) z u ( 1,1 , 1 )

f u 1,1 , 1 = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Passo 7

Para a derivada em relação a v :

f v = f x x v + f y y v + f z z v

f v = 2 x . u + 3 y 2 . 1 + 4 z 3 . w

f v ( 1,1 , 1 ) = f x ( 2,2 , 2 ) x v ( 1,1 , 1 ) + f y ( 2,2 , 2 ) y v ( 1,1 , 1 ) + f z ( 2,2 , 2 ) z v ( 1,1 , 1 )

f v = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Passo 8

E, finalmente (!!!), para a derivada em relação a w :

f w = f x x w + f y y w + f z z w

f w = 2 x . 1 + 3 y . u + 4 z 3 . v

f w ( 1,1 , 1 ) = f x ( 2,2 , 2 ) x w ( 1,1 , 1 ) + f y ( 2,2 , 2 ) y w ( 1,1 , 1 ) + f z ( 2,2 , 2 ) z w ( 1,1 , 1 )

f w = 2 2 . 1 + 3 2 2 . 1 + 4 2 3 . 1 = 48

Viu!? É quase igual ao caso II da regra da cadeia.

Resposta

f u ( 1,1 , 1 ) = 48

f v ( 1,1 , 1 ) = 48

f w ( 1,1 , 1 ) = 48

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