Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2016.1, Questão 2

Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais z s e z t quando z = s e n 3 θ - c o s ϕ ; θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t

Passo 1

Sabemos que:

z s = z θ θ s + z ϕ ϕ s

Sabemos também que:

z t = z θ θ t + z ϕ ϕ t

Então, vamos começar calculando as derivadas parciais de z . Vai ficar:

z θ = 3 cos 3 θ - c o s ϕ

z ϕ = cos 3 θ - c o s ϕ s e n ϕ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de θ e ϕ . Começando por θ :

θ s = t 2

θ t = 2 s t

Passo 3

Fazendo as derivadas parciais de ϕ :

ϕ s = - 2 s t

ϕ t = - s 2

Passo 4

Substituindo, encontramos:

z s = z θ θ s + z ϕ ϕ s

z s = 3 cos 3 θ - c o s ϕ t 2 + cos 3 θ - c o s ϕ s e n ϕ ( - 2 s t )  

z s = cos 3 θ - c o s ϕ 3 t 2 - 2 s t s e n ϕ

Lembrando que θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t . Substituindo:

z s = cos 3 s t 2 - cos 1 - s 2 t 3 t 2 - 2 s t s e n 1 - s 2 t

Passo 5

Fazendo de modo semelhante, temos:

z t = z θ θ t + z ϕ ϕ t

z t = 3 cos 3 θ - c o s ϕ ( 2 s t )   + cos 3 θ - c o s ϕ s e n ϕ - s 2

z t = cos 3 θ - c o s ϕ 6 s t - 3 s 2 s e n ϕ

Lembrando que θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t . Substituindo:

z t = cos 3 s t 2 - cos 1 - s 2 t 6 s t - 3 s 2 s e n 1 - s 2 t  

Resposta

z s = cos 3 s t 2 - cos 1 - s 2 t 3 t 2 - 2 s t s e n 1 - s 2 t

z t = cos 3 s t 2 - cos 1 - s 2 t 6 s t - 3 s 2 s e n 1 - s 2 t  

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