Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2019.1, Questão 4

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação e z = x y z .

a) Calcule z x e z y .

b) Se x = 1 + 3 v e y = 2 u + v , determine z u e z v . Sua resposta deve depender apenas de u , v e z .

Passo 1

Letra a)

Usando derivação implícita dos dois lados da igualdade em relação a x , temos:

( e z ) x = ( x y z ) x

Aplicando a regra do produto do lado direito:

e z z x = ( x y ) x z + z x x y

Usando novamente a regra do produto:

e z z x = y + 0 z + z x x y

Isolando a derivada parcial:

z x = y z e z - x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, usando a derivação implícita em relação a y , temos:

( e z ) y = ( x y z ) y

Aplicando a regra do produto do lado direito:

e z z y = ( x y ) y z + z y x y

Usando novamente a regra do produto:

e z z y = 0 + x z + z y x y

Isolando a derivada parcial:

z y = x z e z - x y

Passo 3

Letra b)

Para calcularmos as derivadas parciais em relação às variáveis u , v , vamos relembrar a regra da cadeia para 2 parâmetros:

Em relação a u :

z u = z x x u + z y y u

Em relação a v :

z v = z x x v + z y y v

Assim, metade do nosso caminho já foi percorrido! Falta calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v e substituir.

Derivada de x em relação a u :

x u = ( 1 + 3 v ) u = 0

Derivada de x em relação a v :

x v = ( 1 + 3 v ) v = 3

Derivada de y em relação a u :

y u = ( 2 u + v ) u = 2

Derivada parcial de y em relação a v :

y v = ( 2 u + v ) v = 1

Ufa, quanta derivada parcial.

Passo 4

Substituindo na fórmula mencionada no passo anterior, temos então

Em relação a u :

z u = z x x u + z y y u = y z e z - x y 0 + x z e z - x y 2

Substituindo de acordo com as equações:

z u = 2 x z e z - x y = 2 1 + 3 v z e z - 1 + 3 v 2 u + v

Em relação a v :

z v = z x x v + z y y v = y z e z - x y 3 + x z e z - x y 1

Substituindo de acordo com as equações:

z v = 3 2 u + v z e z - 1 + 3 v 2 u + v + 1 + 3 v z e z - 1 + 3 v 2 u + v

Pra ficar mais “bonitinho” esse treco feio, podemos colocar em evidência:

z v = z ( 6 u + 6 v + 1 ) e z - 1 + 3 v 2 u + v

Resposta

z x = y z e z - x y

z y = x z e z - x y

z u = 2 1 + 3 v z e z - 1 + 3 v 2 u + v

z v = z ( 6 u + 6 v + 1 ) e z - 1 + 3 v 2 u + v

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