Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2017.2, Questão 2

A variável z é uma função das variáveis x e y implicitamente definida pela equação

cos x y z = x + y + z

  1. Calcule z x e z y .
  2. Sabendo que x = u + v e y = e u v , use a regra da cadeia para calcular z u e z v . Sua resposta deve ser dada em termos de u ,   v   e z apenas.

Passo 1

a )

Para calcular as derivadas parciais de uma função definida implicitamente, a primeira coisa a se fazer é jogar tudo pra esquerda e chamar de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = x + y + z - cos x y z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F :

F x = 1 + y z sen x y z

F y = 1 + x z sen x y z

F z = 1 + x y sen x y z

Passo 3

Aplicando o teorema da função implícita:

z x = - F x F z z y = - F y F z

Logo,

z x x , y = - 1 + y z sen x y z   1 + x y sen x y z

z y x , y = - 1 + x z sen x y z   1 + x y sen x y z

Pronto, achamos, é esse negócio esquisito mesmo!

Passo 4

b )

Agora, nossa função implícita z passa a ser uma função composta. Portanto, para derivar, vamos precisar da regra da cadeia:

z u = z x x u + z y y u

E

z v = z x x v + z y y v

A boa notícia é que as derivadas parciais de z em relação a x e a y nós já achamos na letra a . Fica faltando só as derivadas parciais de x e y .

Passo 5

Mãos à obra então.

Começando pelas derivadas parciais de x :

x = u + v

x u = 1

x v = 1

Agora as derivadas parciais de y :

y = e u v

y u = v   e u v

y v = u e u v

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

z u = - 1 + y z sen x y z   1 + x y sen x y z 1 + - 1 + x z sen x y z   1 + x y sen x y z v e u v

E

z v = - 1 + y z sen x y z   1 + x y sen x y z 1 + - 1 + x z sen x y z   1 + x y sen x y z u e u v

Passo 7

Pensou que tinha acabado, né?

Mas, infelizmente ainda não, pois a questão pediu essas derivadas apenas em função de u ,   v e z .

Sorte que sabemos que

x = u + v

y = e u v

Então, substituindo isso nas derivadas que achamos no passo anterior:

z u = - 1 + e u v z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) y sen u + v e u v z + - 1 + ( u + v ) z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen u + v e u v z v e u v

E

z v = - 1 + e u v z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen x y z + - 1 + ( u + v ) z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen u + v e u v z u e u v

Agora sim!

Resposta

a )

z x x , y = - 1 + y z sen x y z   1 + x y sen x y z

z y x , y = - 1 + x z sen x y z   1 + x y sen x y z

b )

z u = - 1 + e u v z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) y sen u + v e u v z + - 1 + ( u + v ) z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen u + v e u v z v e u v

E

z v = - 1 + e u v z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen x y z + - 1 + ( u + v ) z sen u + v e u v z   1 + ( u + v ) e u v sen u + v e u v z u e u v

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