Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

PUC-RIO – 3ª Prova – 2010.2

O ciclo da figura abaixo representa a operaçãoo de um motor de combustão interna de gasolina (ciclo de Otto). Suponha que a mistura gasolina-ar é equivalente a n mols de um gás ideal com γ = 4 3 = 1,33 .

a Determine as razões entre as temperaturas absolutas T 2 / T 1 , T 3 / T 1 e T 4 / T 1 .

b Determine as razões entre as pressões p 3 / p 1 e p 4 / p 1 .

c Determine o trabalho total W realizado no ciclo (em função de n R T 1 ).

d Em que fase o calor é fornecido ao sistema? Calcule esse calor Q Q (em função de n R T 1 ).

e Calcule a eficiência ε dessa máquina, supondo que todas as trocas de calor ocorrem com fontes externas ao sistema.

f Determine a variação de entropia da substância de trabalho em cada fase do ciclo (em função de n R ).

Passo 1

Antes de atacar o problema, vamos primeiro extrair as informações que são dadas através da figura:

p 2 = 3,00 . p 1

V 2 = V 1

V 4 = V 3 = 4,00 . V 1

a   Para determinar as razões, vamos montar as equações, baseada na lei dos gases ideais, para dois pontos e depois dividir as duas para obter a razão! Ficou confuso? Se liga, então:

Para o ponto 1 , temos:

p 1 . V 1 = n . R . T 1

Para o ponto 2 , temos:

p 2 . V 2 = n . R . T 2

3 . p 1 . V 1 = n . R . T 2

Agora é só dividir a equação do ponto 2 pela equação do ponto 1 :

3 . p 1 . V 1 p 1 . V 1 = n . R . T 2 n . R . T 1

3,00 = T 2 T 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o processo adiabático entre os pontos 2 e 3 , temos:

T 2 . V 2 γ - 1 = T 3 . V 3 γ - 1

Fazendo as substituições, temos:

3,00 . T 1 . V 1 1 3 = T 3 . 4,00 . V 1 1 3

T 3 T 1 = 3,00 4 1 3

T 3 T 1 = 1,89

Passo 3

Analogamente, temos para o processo adiabático entre os pontos 4 e 1 :

T 4 . V 4 γ - 1 = T 1 . V 1 γ - 1

Fazendo as substituições, temos:

T 4 . 4,00 . V 1 1 3 = T 1 . V 1 1 3

T 4 T 1 = 1 4,00 1 3

T 4 T 1 = 0,630

Passo 4

b   Para determinar as razões entre as pressões, vamos fazer como fizemos no item anterior:

Para o ponto 1 , temos:

p 1 . V 1 = n . R . T 1

Para o ponto 3 , temos:

p 3 . V 3 = n . R . T 3

p 3 . 4,00 . V 1 = n . R . ( 1,89 . T 1 )

Lembrando que fizemos as substituições baseadas nas informações que extraímos da figura e das razões que achamos no item anterior!

Dividindo a equação para o ponto 3 pela equação para o ponto 1 , temos:

p 3 . 4,00 . V 1 p 1 . V 1 = n . R . 1,89 . T 1 n . R . T 1

p 3 p 1 = 1,89 4,00

p 3 p 1 = 0,472

Passo 5

Vamos fazer o mesmo procedimento para os pontos 1 e 4 !

p 1 . V 1 = n . R . T 1

Para o ponto 4 , temos:

p 4 . V 4 = n . R . T 4

p 4 . 4 . V 1 = n . R . ( 0,63 . T 1 )

Agor é só dividir a equação para o ponto 4 pela equação para o ponto 1 !

p 4 . 4 . V 1 p 1 . V 1 = n . R . 0,63 . T 1 n . R . T 1

p 4 p 1 = 0,63 4

p 4 p 1 = 0,157

Passo 6

c   Vamos primeiro analisar a figura. Podemos perceber que o trabalho realizado entre 1 e 2 e entre 3 e 4 é zero pois são processos isovolumétricos!

W 12 = W 34 = 0

Agora vamos para os processos adiabáticos. Nesses processos, sabemos que não há troca de calor, ou seja:

Q = 0

portanto, pela primeira lei da termodinâmica, temos:

Q = W + Δ E i n t

- W = Δ E i n t

Pela definição de energia interna, temos:

- W = g 2 . n . R . Δ T

W = - g 2 . n . R . Δ T

Precisamos agora determinar g , que são os graus de liberdade do gás:

Passo 7

Para determinar g , podemos utilizar a definição de γ :

γ = C p C v = g 2 . R + R g 2 . R

Como o valor de γ é dado, temos:

4 3 = g 2 + 1 g 2

g = 6

Passo 8

Agora podemos calcular o trabalho, para o processo 23 , temos:

W 23 = - 6 2 . n . R . ( T 3 - T 2 )

Substituindo C v e colocando as temperaturas em função de T 1 , temos:

W 23 = - 3 . n . R . ( 1,89 . T 1 - 3,00 . T 1 )

W 23 = 3,33 . n . R . T 1

Agora para o processo 41 , temos:

W 41 = - 6 2 . n . R . T 1 - T 4

W 41 = - 3 . n . R . ( T 1 - 0,630 . T 1 )

W 41 = - 1,11 . n . R . T 1

Passo 9

Ou seja, para o ciclo, teremos:

W = W 12 + W 23 + W 34 + W 41

W = 0 + 3,33 . n . r . T 1 + 0 + ( - 1,11 . n . R . T 1 )

W = 2,22 . n . R . T 1

Passo 10

( d ) Para determinar em que fase o calor é fornecido, vamos pensar da segunte maneira. Sabemos que nos processos adiabáticos não há troca de calor. Portanto devemos analisar apenas os processos 12 e 34 . Nesses processos, não é realizado nenhum trabalho, ou seja:

Q = Δ E i n t

Podemos ver que no processo 12 , a pressão aumenta a volume constante, aumentanto a temperatura, ou seja, a energia interna do sistema aumenta, para que isso aconteça, calor deve ser fornecido ao sistema. Portanto na fase 12 foi fornecido calor ao sistema.

No processo 34 vemos que a pressão diminui a pressão constante, diminuindo assim a temperatura, ou seja, a energia interna do sistema diminui, desse modo o sistema está rejeitando calor.

Passo 11

Vamos ao que interessa, que é calcular o calor fornecido no processo 12 :

Q 12 = Δ E i n t

Q 12 = n . C v . ( T 2 - T 1 )

Substituindo C v e colocando a temperatura em função de T 1 , temos:

Q 12 = n . 3 . R . 3,00 T 1 - T 1

Q 12 = Q Q = 6,0 . n . R . T 1

Passo 12

e   Para calcular a eficiência da máquina, vamos relembra da fórmula para a eficiência:

ε = W Q Q

Substituindo os valores, temos:

ε = 2,22 . n . R . T 1 6,0 . n . R . T 1

ε = 2,22 6,0

ε = 0,367 → 36,7 %

Passo 13

f   Nos processos adiabáticos, temos que a variação de entropia é zero:

Δ S 23 = Δ S 41 = 0

Para o processo 12 , temos:

Δ S 12 = ∫ d Q T

Substituindo Q por n . C v Δ T ,temos:

Δ S 12 = ∫ n . C v . d T T

Δ S 12 = n . C v . ln ⁡ T 2 T 1

Substituindo os valores, temos:

Δ S 12 = n . 3 . R . ln ⁡ T 2 T 1

Δ S 12 = n .   3 . R . ln ⁡ 3

Δ S 12 = 3,3 . n . R

Passo 14

Para o processo 34 , podemos fazer o mesmo procedimento, no entanto, sabendo que a variação de entropia do ciclo deve ser zero, teremos que:

Δ S 34 = - Δ S 12

Δ S 34 = - 3,3 . n . R

Resposta

a   T 2 T 1 = 3,00 ; T 3 T 1 = 1,89 ; T 4 T 1 = 0,630

b p 3 p 1 = 0,472 ; p 4 p 1 = 0,157

( c ) W = 2,22 . n . R . T 1

( d ) Q Q = 6,0 . n . R . T 1

( e ) ε = 0,367 → 36,7 %

( f ) Δ S 23 = Δ S 41 = 0 ; Δ S 12 = 3,3 . n . R ; Δ S 34 = - 3,3 . n . R

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