Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

UNICAMP, Física 2, P3 - 2012.1(Noturno), Questão Questão 4 - P3.2012 (Noturno)

Um mol de gás ideal monoatômico realiza o ciclo mostrado no diagrama p × V abaixo. No ponto a o estado do gás é descrito por p 0 , V 0 e T 0 .

  1. Em que etapas do ciclo o gás recebe calor da vizinhança, e qual é o calor total recebido?
  2. Em que etapas do ciclo o gás cede calor para a vizinhança, e qual é o calor total cedido?
  3. Qual é o rendimento de um motor operando neste ciclo?
  4. Qual é a variação da entropia do gás no processo b - c ?

Adote: ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1 .

Passo 1

a):

A gente pode deduzir onde ocorre o recebimento de calor pelo gás apenas observando o gráfico. Onde seria? Bom, como em a b ocorre um crescimento da pressão do gás, assim como em b c ocorre uma expansão volumétrica do mesmo, podemos concluir que nesses pontos o gás recebeu energia. Logo, foi ali que o gás recebeu calor.

Como calcular esse calor? Pra isso a gente precisa saber a temperatura desses pontos, porque vamos usar:

Q = n c v T

Q = n c p T

Como o gás é monoatômico: c v = 3 2 R e c p = 5 2 R . Vamos descobrir as temperaturas de a e b :

T a = T 0

P a V a T a = P b V b T b     T b = T a . P b V b P a V a = T 0 . 3 p 0 V 0 p 0 V 0 = 3 T 0

Logo, o calor recebido nesse processo foi:

Q = n c v T = 1 . 3 R 2 3 T 0 - T 0 = 3 R T 0

Agora, de b pra c :

P b V b T b = P c V c T c   T c = T b . P c V c P b V b = 3 T 0 . 9 p 0 V 0 3 p 0 V 0 = 9 T 0

Logo:

Q = n c p T = 1 . 5 2 R . 9 T 0 - 3 T 0 = 15 R T 0

Logo, o calor total recebido é :

Q r e c e b i d o = 1 8 R T 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Aqui a gente pode usar os resultados do item anterior e a relação:

Q r e c e b i d o = Q c e d i d o + W r e a l i z a d o

Vamos calcular o trabalho realizado total:

A máquina realiza trabalho nos trechos b c e d a , pois é lá que ocorrem variações de volume. Logo:

W b c = 3 p 0 3 V 0 - V 0 = 6 p 0 V 0

W d a = p 0 V 0 - 3 V 0 = - 2 p 0 V 0 =

W r e a l i z a d o = 6 p 0 V 0 - 2 p 0 V 0 = 4 p 0 V 0

Usando a relação:

p 0 V 0 = n R T 0

Temos que (lembrando que n = 1 ) :

W r e a l i z a d o = 4 R T 0

Logo:

Q r e c e b i d o = Q c e d i d o + W r e a l i z a d o

18 R T 0 = Q c e d i d o + 4 R T 0   Q c e d i d o = 14 R T 0

A gente usou módulos ali. Você pode representar isso como:

Q c e d i d o = - 14 R T 0

Passo 3

c):

o rendimento é definido por:

e = W Q r e c e b i d o

Nós já calculamos o trabalho total e o calor recebido, logo:

e = 4 R T 0 18 R T 0 = 0,222 = 22,2 %

Passo 4

d):

A variação da entropia é dada por:

S = d Q T

Como no processo b c o fornecimento de calor se dá a pressão constante:

d Q = n c p d T

Logo:

S = n c p d T T = n c p ln T f T i = 1 . 5 R 2 . ln 9 T 0 3 T 0 = 5 R 2 ln 3 = 2,5 R . 1,1 = 2,75 R

Resposta

a):

Q r e c e b i d o = 18 R T 0

b):

Q c e d i d o = - 14 R T 0

c):

22,2 %

d):

2,75 R

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