Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

Ver Teoria

Enunciado

Um mol de um gás ideal monoatômico, inicialmente à pressão p i = 10,0 k N / m 2 e temperatura de 1.200 K expande a partir de um volume inicial V i = 1,00 m 3 até V f = 2,00 m 3 . Durante a expansão a pressão p e o volume V do gás estão relacionados pela expressão:

p = p i e V i - V a

Onde p está em k N / m 2 ·, V i e V em unidades de m 3 , e a = 1,00 m 3 . Determine:

a A pressão final

b A temperatura final

c Qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão

d Qual a variação de entropia do gás durante a expansão?(dica: Use dois processos reversíveis simples ligando os estados inicial e final para calcular a variação de entropia).

Dados:

R = 8,31 J / m o l - 1 K - 1

Passo 1

a Nós temos a função que rege a variação de p . Basta a gente aplicar os valores:

V = V f = 2,00 m 3

V i = 1,00 m 3

p i = 10,0 k N / m 2 = 10 x 10 3 N / m 2

a = 1,00 m 3

Então:

p = 10,0 x 10 3 . e 1 - 2 1 = 10,0 x 10 3 e

p ≅ 3,68 k N

Passo 2

b   Vamos agora usar o Piviti-Povotó:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2   → T 2 = P 2 V 2 P 1 V 1 . T 1

Usando os valores do enunciado e o valor da pressão da letra a :

T 2 = 3,68.10 3 . 2 10,0.10 3 . 1 . 1200 ≅ 883,2 K

T 2 = 883,2   K

Passo 3

c   O trabalho realizado pelo gás é dado por:

W = ∫ V i V f p d V

Sendo que p é uma função de V ! Logo, a integral fica:

W = ∫ V i V f p i e V i - V a d V  

Resolvendo:

W = ∫ V i V f p i e V i - V a d V    

W = p i ∫ V i V f e V i - V a d V    

W = - p i . a . e V i - V f a - - p i . a . e V i - V f a ∴

W = p i . a - p i . a . e V i - V f a

Aplicando os valores do enunciado:

W = p i . a - p i . a . e V i - V f a  

W = 10 x 10 3 . 1   - 10 x 10 3 . 1 . e 1 - 2 1

W = 10 4 - 10 4 e

W ≅ 6,32 k J

Passo 4

d   Bom, como o próprio enunciado nos indicou, é melhor escolher processos reversíveis simples que liguem os pontos iniciais e finais para calcular a variação de entropia total.

Vamos escolher dois processos diferentes, calcular a variação da entropia de cada um e, no fim, soma-las, obtendo a variação total.

Vamos escolher primeiro um processo isotérmico. Usando a primeira lei:

∆ U = Q - W

Sendo ∆ U = 0 , já que o processo é isotérmico, o que quer dizer que não há variação de temperatura e, logo, não há variação de energia interna. Então ficará:

W = Q

Como o trabalho realizado pelo um gás numa transformação isotérmica é dado por:

W = n R T l n V f V i

Logo, o calor será:

Q = W = n R T l n V f V i

Aplicando os valores do enunciado:

Q = 1 x 8,34 x 1200 x ln ⁡ 2 1 ≅ 6937 J

A variação de entropia é dada por:

∆ S = ∫ d Q T  

Como T é constante:

∆ S = ∫ d Q T = 1 T . ∫ d Q = Q T

Logo:

∆ S = Q T = 6937 1200

Δ S = 5,78 J / K

Que é a nossa primeira variação de entropia. Vamos chama-la de ∆ S 1 .

Como há variação de temperatura, vamos tomar algum um processo isovolumétrico. A gente vai ver que nesse caso a variação da temperatura vai gerar a variação da entropia:

Nesse processo, o trabalho é igual a 0: W = 0 , e o valor de Q é dado por:

Q = n c v ∆ T   → d Q = n c v d T

Logo, a variação de entropia será:

∆ S = ∫ d Q T = ∫ n c v d T T  

Integrando em relação a T :

∆ S = n c v ln ⁡ T f T i

Como o gás é monoatômico, c v = 3 2 R , n = 1 , T f = 885 K e T i = 1200 K :

∆ S = 3 2 R . ln ⁡ 885 1200

Δ S ≅ - 3.79 J / K

Pronto! A variação total será a soma das duas:

∆ S t o t a l = ∆ S 1 + ∆ S 2   →   ∆ S t o t a l

∆ S t o t a l = 5,78   - 3.79

∆ S t o t a l = 1.99 J / K  

Resposta

a   3,68 k N

b   883,2 K

c   6,32 k J  

d   1.99 J / K    

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que 1 m o l de um gás monoatômico ideal inicialmente à pressão p 1 e ocupando um volume V 1 seja submetido sucessivamente a dois processos: ( 1 ) uma expansão isotérmica até um volume 2 V 1 e
Suponha que 0,55 m o l de um gás ideal seja expandido isotérmica e reversivelmente nas quatro situações da tabela abaixo. Qual é a variação da entropia do gás para cada situação?
Quanta energia deve ser transferida na forma de calor para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal a 132 ° C se a entropia do gás aumenta de 46,0J / K ?
Suponha que 4,00m o l s de um gás ideal sofrem uma expansão reversível isotérmica do volume V 1 para o volume V 2 = 2,00 V 1 a uma temperatura T = 400K . Determine (a) o trabalho realizado pelo gás e
Uma caixa de 1,0 L contém N moléculas de um gás ideal, e as posições das moléculas são observadas 100 vezes por segundo. Calcule o temo médio que deve decorrer antes que se possa observar toas as N mo