Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

Numa máquina térmica, o agente é um mol degás ideal de coeficiente adiabático γ , que executa o ciclo da figura abaixo, onde BC é uma adiabática e CA uma isoterma.Definindo P A = P 0 ,   V A = V 0 e T A = T 0 , em termos de r, γ , P 0 ,   V 0 e T 0 :

a) Calcule PC;

b) Calcule PB;

c) Calcule TB;

d) Calcule o trabalho no processo BC;

e) Calcule a variação da entropia do gás no processo CA.

Observação: Qualquer resultado que não esteja fornecido no formulário em anexo deve ser DEMONSTRADO.

Passo 1

a) No processo C → A podemos fazer:

p C V C = p A V A = p 0 V 0

Porque a temperatura é constante entre esses dois pontos!

p C V C = p 0 V 0

Mas:

V C = r V 0

Então:

p C r V 0 = p 0 V 0

p C = p 0 r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) No processo B → C podemos fazer:

p B V B γ = p C V C γ

E sabemos:

V B = V 0

V C = r V 0

p C = p 0 r

Trocando:

p B V 0 γ = p 0 r ( r V 0 ) γ

p B = p 0 r γ - 1

Passo 3

c) No processo A → B podemos fazer:

p B T B = p A T A = p 0 T 0

T B = p B T 0 p 0

E:

p B = p 0 r γ - 1

Então:

T B = p 0 r γ - 1 T 0 p 0

T B = T 0 r γ - 1

Passo 4

d) O processo B → C é adiabático. Então:

Q B C = 0

Pela 1ᵃ Lei da Termodinâmica temos:

∆ U B C = - W B C

E:

∆ U B C = g n R ∆ T 2

Em que g é o número de graus de liberdade. Se acharmos ∆ U B C achamos W B C , show?

Presta atenção então no que eu vou fazer aqui.

Como ele não disse se é um gás monoatômico ou diatômico, não sabemos g. Mas sabemos γ , e podemos escrever g em função de γ :

g = 2 γ - 1

Trocando o que a gente conhece então:

∆ U B C = 2 γ - 1 × R ( T C - T B ) 2

∆ U B C = R ( T 0 - T 0 r γ - 1 ) γ - 1

∆ U B C = R T 0 ( 1 - r γ - 1 ) γ - 1

No ponto A:

p V = n R T

p 0 V 0 = n R T 0

Como n=1:

p 0 V 0 = R T 0

Vou trocar então R T 0 por p 0 V 0 , só pra não ter R na resposta, como o enunciado pediu:

∆ U B C = p 0 V 0 ( 1 - r γ - 1 ) γ - 1

Show! Como o trabalho é - ∆ U B C :

W B C = - p 0 V 0 ( 1 - r γ - 1 ) γ - 1

W B C = p 0 V 0 ( 1 - r γ - 1 ) 1 - γ

Passo 5

e) Eiiii, vou te ensinar um macete. Sempre que a temperatura for constante ao longo do processo, você pode escrever:

∆ S = Q T

Não precisa integrar!

O processo C → A é isotérmico, a temperatura não varia, então podemos fazer:

∆ S C A = Q C A T C A

A temperatura vai ser T C A = T 0 .

Como a temperatura não varia, a energia interna também não varia.

∆ U C A = 0

Então, pela 1ᵃ Lei da Termodinâmica, podemos escrever:

Q C A = W C A

Show! Vamos achar o trabalho então que o problema tá resolvido.

Passo 6

O trabalho no processo C → A vai ser:

W C A = n R T 0 ln ⁡ V 0 r V 0

Lembrando que n=1, e vou usar a mesma relação de antes:

p 0 V 0 = R T 0

W C A = p 0 V 0 ln ⁡ 1 r

Como:

Q C A = W C A

Q C A = p 0 V 0 ln ⁡ 1 r

E voltando na variação de entropia:

∆ S C A = Q C A T 0

∆ S C A = p 0 V 0 ln ⁡ 1 r T 0

Lembrando que:

ln ⁡ 1 r = - ln ⁡ r

∆ S C A = - p 0 V 0 ln ⁡ r T 0

Resposta

a) p C = p 0 r

b) p B = p 0 r γ - 1

c) T B = T 0 r γ - 1

d) W B C = p 0 V 0 ( 1 - r γ - 1 ) 1 - γ

e) ∆ S C A = - p 0 V 0 ln ⁡ r T 0

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