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Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

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Enunciado

A figura abaixo é o diagrama p - V   do ciclo de uma máquina que faz uso de n   m o l e s de um gás ideal monoatômico. Os processos A B   e   C D são adiabáticos, enquanto B C   e   D A são processos a pressão constante (isobáricas). Sejam   T A ,   T B ,   T C   e   T D   as temperaturas nos estados A ,   B ,   C   e   D , respectivamente. Para as questões abaixo, expresse seu resultado em termos das temperaturas, da constante dos gases, R , e do número de moles, n .

  1. Calcule o calor trocado em cada etapa do ciclo e o trabalho total realizado no ciclo.
  2. Calcule a eficiência de uma máquina operando neste ciclo fazendo uso de um gás ideal.
  3. Calcule a variação da entropia do gás em cada etapa do ciclo.

Passo 1

a)

Para os processos A B   e   C D , que são adiabáticos, temos:

Q A B = 0

Q C D = 0

Já para o processo A D , que ocorre à pressão constante, temos:

Q A D = n c p T A - T D

c p = c v + R = 3 2 R + R = 5 2 R

Assim:

Q A D = 5 n R 2 T A - T D

A expressão do calor do processo B C vai ser parecida, apenas precisamos trocar as temperaturas:

Q B C = 5 n R 2 T C - T B

Para um ciclo, temos :

W t o t a l = Q t o t a l

Assim:

W t o t a l = Q t o t a l = Q A B + Q B C + Q C D + Q D A = 0 + 5 n R 2 T C - T B + 0 + 5 n R 2 T A - T D

W t o t a l = 5 n R 2 T C - T B + T A - T D

Passo 2

b)

A eficiência é dada por:

e = | W t o t a l | | Q a b s |

Qual é o calor absorvido? É o calor que é trocado em B C . Afinal de contas, ali o gás se expande, o que indica que ele está recebendo calor. Assim:

| Q a b s = Q B C = 5 n R 2 T C - T B |

Assim:

e = 5 n R 2 | T C - T B + T A - T D | 5 n R 2 | T C - T B | = 1 - T A - T D T C - T B

Passo 3

c)

nos processos adiabáticos não ocorre transferência de calor, assim, a variação de entropia é nula. Então:

∆ S A B = ∆ S C D = 0

Já nos outros processos:

∆ S B C = ∫ d Q T = ∫ n c p d T T = n c p ln ⁡ T f T i = n c p ln ⁡ T c T D = 5 n R 2 ln ⁡ T c T D

∆ S D A = ∫ d Q T = ∫ n c p d T T = n c p ln ⁡ T f T i = n c p ln ⁡ T D T A = 5 n R 2 ln ⁡ T D T A

Assim:

∆ S A B = ∆ S C D = 0

∆ S B C = 5 n R 2 ln ⁡ T c T D

∆ S D A = 5 n R 2 ln ⁡ T D T A

Resposta

a)

Q A B = 0

Q C D = 0

Q A D = 5 n R 2 T A - T D

Q B C = 5 n R 2 T C - T B

W t o t a l = 5 n R 2 T C - T B + T A - T D

b)

e = 1 - T A - T D T C - T B

c)

∆ S A B = ∆ S C D = 0

∆ S B C = 5 n R 2 ln ⁡ T c T D

∆ S D A = 5 n R 2 ln ⁡ T D T A

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