Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

O ciclo de Joule, representado na figura abaixo, onde A B e C D são adiabáticas, é uma idealização do que ocorre em uma turbina de gás: B C e D A representam respectivamente aquecimento e resfriamento à pressão constante; r = P B / P A é a taxa de compressão e P A = P 0 . Seja o coeficiente adiabático do gás ideal submetido ao ciclo dado por γ .

Dados: V C = 2 V B , V D = 2 V A e C P = γ R / ( γ - 1 )

  1. Calcule o calor trocado no processo B C ( Q B C ) em termos de r , γ , P 0 e V B
  2. Calcule o calor trocado no processo D A ( Q D A ) em termos de γ , P 0 e V A
  3. Usando os resultados do item anterior, calcule o rendimento do ciclo em termos de r e γ
  4. Sabendo que n mols do referido gás são usados na turbina, calcule a variação de entropia no processo B C em termos de n R e γ

Passo 1

O processo B C é uma expansão isobárica. O calor recebido é dado por

Q B C = n C P Δ T B C

Onde C P é o calor específico a pressão constante e é dado por

C P = γ γ - 1 R

Usando a equação dos gases ideais temos

P V = n R T → T = P V n R

De forma que

Δ T B C = T C - T B = r P 0 V C n R - r P 0 V B n R = r P 0 n R V C - V B

Como pelo enunciado V C = 2 V B

Δ T B C = r P 0 V B n R

Assim

Q B C = n C P Δ T B C = n γ γ - 1 R r P 0 V B n R

Q B C = γ γ - 1 r P 0 V B

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O processo D A é uma contração isobárica. O calor recebido (nesse caso, retirado) é dado por

Q D A = n C P Δ T D A

A variação de temperatura é dada por (usando a equação dos gases ideais)

Δ T D A = T A - T D = P 0 n R V A - V D

Como V D = 2 V A

Δ T D A = - P 0 V A n R

(o sinal de menos indica que o gás perdeu calor)

Assim

Q D A = n γ γ - 1 R - P 0 V A n R

Q D A = - γ γ - 1 P 0 V A

Passo 3

Temos que o rendimento do ciclo é dado por

ε = 1 - Q F Q Q = 1 - Q D A Q B C = 1 - γ γ - 1 P 0 V A γ γ - 1 r P 0 V B

ε = 1 - 1 r V A V B

Passo 4

Essa resposta tá quase perfeita. Precisamos escrever o rendimento em função de γ e r e temos que eliminar esses volumes V A e V B .

O processo A → B é uma compressão adiabática. Lembra como a gente relaciona a pressão e volume em um processo adiabático? É assim ó:

P A V A γ = P B V B γ

Substituindo as pressões de A e B e isolando a razão V A / V B

P 0 V A γ = r P 0 V B γ → V A γ V B γ = r

V A V B = r 1 γ

Agora jogando isso no nosso rendimento

ε = 1 - 1 r V A V B = 1 - 1 r r 1 γ

ε = 1 - r 1 - γ γ

Passo 5

Temos que uma variação infinitesimal de entropia é dada por

d S = d Q T

No processo B C , já vimos que

Q B C = n C P Δ T B C

Na forma diferencial

d Q = n C P d T

Assim

d S = n C P d T T → Δ S B C = n C P ∫ T B T C d T T

Δ S B C = n C P ln ⁡ T C T B

Por outro lado

P 0 V B T B = P 0 V C T C → T C T B = V C V B

E como V C = 2 V B , temos que

T C T B = 2

E então

Δ S B C = n C P ln ⁡ 2

Δ S B C = n R γ γ - 1 ln ⁡ 2

Resposta

(a)

Q B C = γ γ - 1 r P 0 V B

(b)

Q D A = - γ γ - 1 P 0 V A

(c) ε = 1 - r 1 - γ γ

(d)

Δ S B C = n R γ γ - 1 ln ⁡ 2

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