Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

Origem do Exercício

Um mol de um gás ideal monoatômico percorre o ciclo mostrado na figura ao lado. Em c a pressão e o volume são respectivamente V   =   3 V 0 e P   =   3 P 0 . V 0   e P 0   são o volume e a pressão em a. Analise as afirmações abaixo:

(I)A temperatura T d   =   2 T c .

(II) A variação da entropia no processo abc é ∆ S = 3 2 R l n 3 .

(III)A eficiência da máquina que opera com este ciclo é de e   =   2 / 9

(IV). A eficiência de um ciclo de Carnot operando entre as temperaturas mais alta e mais baixa é de e   =   8 / 9 .

(V) T b   =   T d .

São afimarções verdadeiras:

  1. Somente III, IV e V
  2. Somente III e V.
  3. Somente I e III.
  4. Todas
  5. Somente I, III, IV e V.

Passo 1

Vamos analisar uma por uma:

I)

A temperatura em a é dada por:

T a = P 0 V 0 n R

E a de c , levando-se em consideração a nova pressão e o novo volume:

T c = 3 P 0 3 V 0 N R = 9 P 0 V 0 n R = 9 T a

E a temperatura em d ? Bom, d tem a mesma pressão que a e o mesmo volume que c :

T d = P 0 3 V 0 n R = 3 P 0 V 0 n R = 3 T a

Assim:

T d = 3 T c

A afirmação é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

II)

Temos que:

∆ S A B C = ∆ S A B + ∆ S B C

Vamos analisar primeiro A B .   A B é um processo isovolumétrico, assim:

∆ S A B = ∫ d Q T = ∫ n c v d T T = n c v ln ⁡ T f T i

O valor de c v é:

c v = 3 2 R

A temperatura final é a temperatura em B , e a inicial em A :

T a = P 0 V 0 n R

O ponto b tem a pressão de c e o volume de a :

T B = 3 P 0 V 0 n R = 3 T a

Assim:

∆ S A B = n 3 R 2 ln ⁡ 3 T a T a = 3 n R 2 ln ⁡ 3

n = 1

∆ S A B = 3 R 2 ln ⁡ 3

E a variação em B C vai ser a variação de uma transformação à pressão constante:

∆ S B C = ∫ d Q T = ∫ n c p d T T = n c p ln ⁡ T f T i = n c p ln ⁡ T C T B

Já calculamos essas temperaturas:

T c = 9 T a

T B = 3 P 0 V 0 n R = 3 T a

Além disso:

c p = 5 2 R

n = 1

Então:

∆ S B C = 1 . 5 R 2 ln ⁡ 9 T a 3 T a = 5 R 2 ln ⁡ 3

Assim:

∆ S A B C = ∆ S A B + ∆ S B C

∆ S A B C = 3 R 2 ln ⁡ 3 + 5 R 2 ln ⁡ 3

Assim, a afirmação é Falsa.

Passo 3

III)

Pra calcular a eficiência, podemos usar:

e = W t o t a l Q a b s

Pra calcular o trabalho total, devemos calcular os trabalhos dos processos b c   e   d a . Além disso, os outros dois processos, a b   e   c d ,   são à volume constante, logo, possuem trabalhos nulos.

Assim:

W t o t a l = W b c + W d a = 3 P 0 3 V 0 - V 0 + P 0 V 0 - 3 V 0 = 6 P 0 V 0 - 2 P 0 V 0 = 4 P 0 V 0

W t o t a l = 4 P 0 V 0

E:

P 0 V 0 = n R T 0

Onde T 0 = T a

Assim:

W t o t a l = 4 n R T 0 = 4 R T 0       ,   n = 1

Onde o calor é absorvido? Ele é absorvido nos processos em que ocorre aumento de pressão ou de volume. Assim, em a b   e   b c .

O calor absorvido em a b é:

Q a b = n c v T b - T a = 1.3 R 2 3 T a - T a = 3 R T a = 3 R T 0

E o calor absorvido em b c :

Q b c = n c p T c - T b = 1 . 5 R 2 . 9 T a - 3 T a = 5 R 2 . 6 T a = 15 R T a = 15 R T 0

Assim:

Q a b s o r v i d o = 3 R T 0 + 15 R T 0 = 18 R T 0

Assim:

e = W t o t a l Q a b s = 4 R T 0 18 R T 0 = 2 9

Assim, a afirmação está correta.

Passo 4

IV)

Pra calcular a eficiência de Carnot, basta aplicar a fórmula:

e c a r n o t = 1 - T f T q

Quem é T f ? É a temperatura mais baixa., assim, T a :

T a = T f

E T q ? A temperatura maior. Essa é a T c que, como vimos, é igual a:

T c = 9 T a

Assim:

e c a r n o t = 1 - 1 9 = 8 9

Assim: Está correta.

Passo 5

V)

T b = T d ?

Basta a gente calcular:

T b = ( 3 P 0 ) V 0 n R = 3 P 0 V 0 n R

E:

T d = P 0 3 V 0 n R = 3 P 0 V 0 n R = T b

Assim, está correta.

Resposta

a)

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