Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

PUCRIO, Física 2- FIS1041, P3 - 2015.1, Questão 3° Questão

A figura mostra o diagrama pressão x volume do ciclo termodinâmico a que é submetido 2,00   m o l s de um gás ideal poliatômico. As setas indicam o sentido do ciclo. Na figura V B = 2 V A , p A = 2,00 x 10 5 P a e V A = 25,0 x 10 - 3 m 3 .

Para os itens (a), (b) e (c) assuma que a curva A C é isotérmica.

  1. Calcule o valor de p C e T C .
  2. Calcule o trabalho realizado pelo gás no ciclo.
  3. Calcule a variação de entropia S na trajetória C B A .
  4. Para os itens (d), (e) e (f) assuma que a curva A C é adiabática.

  5. Calcule o valor de p C e T C .
  6. Calcule o valor do trabalho feito no ciclo.
  7. Calcule a variação de entropia na trajetória C B A .

Dados:

R = 8,31 J m o l . K

Passo 1

a):

Como A C é uma isoterma, a temperatura de C e a mesma temperatura de A . Então:

T C = T A

Basta calcular T A :

T c = T A = p A V A n R = 2,00 x 10 5 . 25,0 x 10 - 3 2 x 8,31 301   K

E pra achar p c , é só usar Piviti-Povotó:

p A V A = p c V c p c = p A V A V c = 2 x 10 5 . 25 x 10 - 3 2.25 x 10 - 3 = 1,00 x 10 5 P a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

O trabalho do ciclo é dado pelo trabalho dos trechos B A e A C :

W c i c l o = W B A + W A C

Por que não tem trabalho no trecho C B ? Por que ali não há variação de volume!

Então:

W B A = p A . V A - V B = 2,00 x 10 5 25 x 10 - 3 - 2.25 x 10 - 3 = - 50 x 10 2 J = - 5000 J

E o trabalho W A C é o trabalho de uma transformação isotérmica, então:

W A C = p d V = n R T A V d V = n R T A l n V F V i

Só que, como T C = T A :

n R T A = n R T C

E usando a equação geral dos gases:

P c V c = n R T C

Então:

W A C = P C V C ln 2 V A V A = P C V C ln 2 = 3465,7 J

Então o trabalho do ciclo é:

W c i c l o = - 5000 + 3465,7 = - 1534,26 J

Passo 3

c):

Bom, a variação de entropia vai ser a soma das variações de entropia de cada etapa. Perceba que ele não quer a variação do ciclo inteiro, e sim só do trajeto C B A :

S C B A = S B A + S C B

Vamos calcular cada um:

S B A : É uma transformação isobárica. Bom, aqui a gente precisa lembrar da equação básica da entropia:

S B A = d Q T

Show? No caso, como a transformação é isobárica, o d Q vai ser:

d Q = n c P d T

Usamos c p , sacou?:

S B A = n c p d T T = n c p ln T A T B

Como:

c p = 4 R

Então:

S B A = n 4 R ln T A T B

E S C B vai acontecer numa variação isovolumétrica(por isso vamos usar c v ) :

d Q = n c v d T

S C B = n c v d T T = n c v ln T B T C

Como c v = 3 R :

S C B = n 3 R l n T B T C

Somando:

S C B A = S B A + S C B

S C B A = n 3 R l n T B T C + n 4 R ln T A T B

Agora, lembrando que T B = 2 T A e T C = T A :

S C B A = 3 n R l n 2 + 4 n R l n 1 2

S C B A = n l n 2 R 3 - 4 - 11,5 J / K

Passo 4

d):

Bom, agora vamos supor que a acurva A C é uma adiabática. Show?

Bora então:

Pra achar p c , vamos usar a equação abaixo:

p A V A γ = p C V C γ

Lembrando que γ = c p c v = 4 R 3 R = 4 3

Então:

p c = p A . V A V C γ = 2,00 x 10 5 . 1 2 4 3 0,794 x 10 5 P a

E pra achar a temperatura a gente usa a velha e boa equação geral dos gases:

T C = p C V C n R = 0,794 x 10 5 . 50 x 10 - 3 2.8,31 239 K

Passo 5

e):

Como em C B não há variação de volume, também não há trabalho ali. Então o trabalho total será dado por:

W c i c l o = W B A + W A C

Show?

O trabalho de B A é simples já que é uma transformação isobárica:

W B A = p A . V A - V B = p A . V A - 2 V A = - p A V A

Já o trabalho de A C a gente descobre usando a primeira lei da termo, lembrando-se que na transformação adiabática não há troca de calor:

U = Q - W

Q = 0

U = - W   W A C = - U A C = - n c v T = - n c v ( T C - T A )

Lembra da letra a)? T A = 301   K . T C a gente calculo no item anterior, então:

W A C = - n 3 R 239 - 301 = 186 n R

E então, somando geral:

W c i c l o = W B A + W A C

W c i c l o = - n 3 R 239 - 301 - p A V A

W c i c l o = 186 n R - p A V A = 186.2 . 8,13 - 2 x 10 5 . 25 x 10 - 3 = - 1,91 x 10 3 J

Passo 6

f):

Como a gente vai calcular isso? Simples, vamos partir do fato de que em um ciclo, a variação total de entropia é nula.

Beleza, mas nós não queremos calcular a variação do ciclo....queremos apenas do trecho C B A . Bom, mas se fecharmos o ciclo, isso é, incluir o outro trecho numa equação, vamos encontrar um resultado interessante:

S C B A + S A C = 0   S C B A = - S A C

Show?

Então se a gente calcular a variação S A C a gente calcula a outra variação. Mas pera, esse trecho não é uma adiabática?

Lembra que, como não há transferência de calor nesses processos, não há variação de entropia?

Então:

S A C = 0

Logo:

S C B A = - S A C = - 0 = 0  

Pronto (:

Resposta

a):

T C = 301   K

p c = 1,00 x 10 5 P a

b):

W c i c l o = - 1534,26 J

c):

S C B A = - 11,5 J / K

d):

T C = 239 K

e):

W c i c l o = - 1,91 x 10 3 J

f):

S C B A = 0  

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