Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

PUCRIO, Física 2- FIS1041, P3 - 2011.1, Questão 2° Questão

Um gás ideal diatômico descreve o ciclo A B C D A definido pelas seguintes etapas:

A B : processo a volume constante 2 V 0 , desde a pressão p 0 até 2 p 0 .

B C : expansão a pressão constante 2 p 0 , do volume 2 V 0 até 3 V 0 .

C D : processo a volume constante 3 V 0 , de 2 p 0 até p 0 .

D A : compressão a pressão constante p 0 , de 3 V 0 até 2 V 0 .

a ) Desenhe o ciclo num gráfico p   versus V , sendo p 0 = 10 5   P a Pa e V 0 = 20 × 10 - 3 m 3

b ) Dado que o número de mols n do gás é tal que n R = 20   J / K , calcule a temperatura em cada vétice.

c ) Obtenha o trabalho realizado pelo gás em cada ciclo.

d ) Obtenha o calor trocado em cada etapa do ciclo, indicando se é recebido ou cedido pelo gás.

e ) Calcule a eficiência de um motoe térmico operando segundo o ciclo A B C D A .

f ) Calcule a variação de entropia da etapa D A e a variação de entropia no ciclo completo.

Passo 1

a )

Vamos primeiro montar o gráfico de acordo com as informações dadas no enunciado:

Podemos ver claramente no gráfico as transformações a volume constante e a pressão constante.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Como temos o valor de p 0 e de V 0 , podemos achar a temperatura em cada vértice utilizando a lei dos gases ideais, lembre-se que n R = 20   J / K

p . V = n . R . T

Vamos começar com o vértice A :

p 0 . 2 . V 0 = n R . T A

Substituindo os valores, temos:

10 5 .   2 .   20 × 10 - 3 = 20 . T A

T A = 200   K

Passo 3

Vamos agora para o vértice B :

2 p 0 . 2 . V 0 = n .   R .   T B

2 .   10 5 . 2   . 20 × 10 - 3 = 20 . T B

T B = 400   K

Passo 4

Para o vértice C , temos:

2 . p 0 .   3 V 0 = n . R . T C

2.10 5 .   3 .   20 × 10 - 3 = 20 .   T C

T C = 600   K

Passo 5

Para o vértice D , temos:

p 0 .   3 .   20 × 10 - 3 = n . R . T D

10 5 .   3 .   20 × 10 - 3 = 20 .   T D

T D = 300   K

Passo 6

c )

Quando temos um ciclo, sabemo que o trabalho realizado é igual à área do retângulo A B C D , ou seja:

W c i c l o = 2 . p 0 - p 0 . ( 3 . V 0 - 2 . V 0 )

W c i c l o = p o . V 0

W c i c l o = 10 5 .   20 × 10 - 3

W c i c l o = 2,0 × 10 3   J

Passo 7

d )

Para determinar o calor trocado em cada etapa, vamos recordar da equação para o calor a volume constante e a pressão constante, que são, respectivamente:

Q = n   . C v . Δ T

Q = n .   C p . Δ T

Lembrando que para um gás diatômico, temos:

C v = 5 2 R

C p = C v + R

C p = 7 2 R

Dito isso, podemos determinar o cator trocado em cada processo do ciclo!

Passo 8

Vamos começar com os processos a volume constante, vamos calcular primeiro Q A B e depois Q C D :

Q A B = n . 5 2 . R . ( T B - T A )

Q A B = 5 2 . 20 .   400 - 200

Q A B = 10000   J

Para Q C D , temos:

Q C D = n . 5 2 . R   . ( T D - T C )

Q C D = 5 2 . 20   . ( 300 - 600 )

Q C D = - 15000   J

Passo 9

Agora vamos calcular o calor trocado no processo a pressão constante, primeiro Q B C e depois Q D A :

Q B C = n . 7 2 . R . ( T C - T B )

Q B C = 7 2 . 20   . 600 - 400

Q B C = 14000   J

Para Q D A , temos:

Q D A = n . 7 2 . R . ( T A - T D )

Q D A = 7 2 .   20 .   ( 200 - 300 )

Q D A = - 7000   J

Perceba que em todas as contas desse item juntamos n R , pois já temos esse valor!

O sinal indica se o calor é recebido( Q > 0 ) ou cedido( Q < 0 ).

Passo 10

e )

Para uma máquina térmica, temos que a eficiência é dada por:

η = W c i c l o Q Q

Onde Q Q é o calor recebido pelo gás. Podemos calcular esse calor simplesmente somando os Q > 0 do item anterior!

Q Q = 1000 + 14000

Q Q = 24000   J

Substituindo na fórmula da eficiência, temos:

η = 2 × 10 3 24000

η = 0,083

Passo 11

f )

Para calcular a entropia, vamos relembra da fórmula:

Δ S D A = T D T A d Q T

Substituindo Q pela fórmula usada em processos a pressão constante, visto que esse é processo entre D e A , temos:

Δ S D A = T D T A n .   C p . d T T

Δ S D A = 7 2 . n R . ln T A T D

Δ S D A = 7 2 . 20 . ln 200 300

Δ S D A = - 28,4   J / K

Para um ciclo, temos que a entropia é zero:

Δ S c i c l o = 0

Resposta

a )

b ) T A = 200   K T B = 400   K T C = 600   K T D = 300   K

c )   W c i c l o = 2,0   k J

d )   Q A B = 10   k J Q B C = 14 k J Q C D = - 15   k J Q D A = - 7   k J

e )   η = 0,083

f )   Δ S D A = - 28,4   J / K ; Δ S c i c l o = 0

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