Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

UNICAMP, Física 2, Exame - 2017.2 (diurno), Questão D2

Um mol de gás diatômico ideal tem seu estado inicialicaracterizado por uma pressão P 0 e um volume V 0 . O gás é aquecido através de dois processos termodinâmicos. O primeiro processo é a volume constante e o segundo a pressão constante. O estado termodinâmico final f do gás é caracterizado por uma pressão 3 vezes maior do que a inicial e um volume 2 vezes maior do que o inicial. Considere que as temperaturas envolvidas nos processos não ativam graus de liberdade vibracionais do gás. Dê suas respostas em termos de P 0 , V 0 e R, a constante dos gases ideais.

a) Desenhe o diagrama P-V indicando claramente o estado final e o inicial do gás e sua trajetória de processos termodinâmicos.

b) Calcule a quantidade de calor absorvida ou retirada pelo gás ao ir de seu estado inicial i ao final f.

c) Calcule a variação da entropia do gás ao ir do estado inicial i ao final f.

Observação: Qualquer resultado que não esteja fornecido no formulário em anexo deve ser DEMONSTRADO.

Passo 1

a) Então, nós vamos ter um estado intermediário entre os pontos i e f que eu vou chamar de A, ok?

Então pensa comigo: do estado i ao estado A temos uma transformação a volume constante. Então vai ser uma reta vertical!

Do estado A ao estado f vamos ter uma transformação a pressão constante. Isso quer dizer que vai ser uma reta horizontal!

Colocando os valores da pressão e do volume em todos os estados, vai ficar mais ou menos assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Primeiro vamos calcular as temperaturas nos três pontos. Vamos usar:

p V = n R T

Como temos um mol de gás, então n = 1 , o que simplifica as nossas contas :D

p V = R T

Então, no ponto i:

P 0 V 0 = R T i

T i = P 0 V 0 R

No ponto A:

3 P 0 V 0 = R T A

T A = 3 P 0 V 0 R

No ponto f:

3 P 0 2 V 0 = R T f

T f = 6 P 0 V 0 R

Passo 3

Beleza! Agora que temos as temperaturas vamos calcular o calor nos dois processos. Repare que um processo é a volume constante outro a pressão constante.

No processo i → A :

Q i A = C v n ∆ T i A = C v ∆ T i A

Vamos lembrar que pra um gás diatômico, C v = 5 R / 2 .

Q i A = 5 R 2 ( T A - T i )

Q i A = 5 R 2 3 P 0 V 0 R - P 0 V 0 R

Q i A = 5 P 0 V 0

No processo A → f :

Q A f = C p n ∆ T f i = C p ∆ T f i

E C p = C v + R = 5 R 2 + R .

Q A f = 5 R 2 + R ( T f - T A )

Q A f = 7 R 2 6 P 0 V 0 R - 3 P 0 V 0 R

Q A f = 21 P 0 V 0 2

Passo 4

Então no processo i → f a gente vai ficar com:

Q i f = Q i A + Q A f

Q i f = 5 P 0 V 0 + 21 P 0 V 0 2

Q i f = 31 P 0 V 0 2

Passo 5

c) Pra variação de entropia a gente tem que usar essa fórmula:

∆ S = ∫ d Q T

No processo i → A :

∆ S i A = ∫ i A d Q i A T

∆ S i A = ∫ i A C v n d T T = C v ∫ i A d T T

∆ S i A = C v ln ⁡ T A T i

∆ S i A = C v ln ⁡ 3 P 0 V 0 R P 0 V 0 R

∆ S i A = 5 R 2 ln ⁡ 3

No processo A → f :

∆ S A f = ∫ A f d Q A f T

∆ S A f = ∫ A f C p n d T T = C p ∫ A f d T T

∆ S A f = C p ln ⁡ T f T A

∆ S A f = C p ln ⁡ 6 P 0 V 0 R 3 P 0 V 0 R

∆ S A f = 7 R 2 ln ⁡ 2

Passo 6

A variação de entropia total então vai ser:

∆ S i f = ∆ S i A + ∆ S A f

∆ S i f = 5 R 2 ln ⁡ 3 + 7 R 2 ln ⁡ 2

∆ S i f = R 2 ( 5 ln ⁡ 3 + 7 ln ⁡ 2 )

Resposta

a)

b) Q i f = 31 P 0 V 0 2

c) ∆ S i f = R 2 ( 5 ln ⁡ 3 + 7 ln ⁡ 2 )

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