Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

CEFET – 3ª Prova – Prof. Hilário

Um mol de um gás ideal monoatômico, inicialmente à pressão p i = 10,0 k N / m 2 e temperatura de 1.200 K expande a partir de um volume inicial V i = 1,00 m 3 até V f = 2,00 m 3 . Durante a expansão a pressão p e o volume V do gás estão relacionados pela expressão:

p = p i e V i - V a

Onde p está em k N / m 2 ·, V i e V em unidades de m 3 , e a = 1,00 m 3 . Determine:

a A pressão final

b A temperatura final

c Qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão

d Qual a variação de entropia do gás durante a expansão?(dica: Use dois processos reversíveis simples ligando os estados inicial e final para calcular a variação de entropia).

Dados:

R = 8,31 J / m o l - 1 K - 1

Passo 1

a Nós temos a função que rege a variação de p . Basta a gente aplicar os valores:

V = V f = 2,00 m 3

V i = 1,00 m 3

p i = 10,0 k N / m 2 = 10 x 10 3 N / m 2

a = 1,00 m 3

Então:

p = 10,0 x 10 3 . e 1 - 2 1 = 10,0 x 10 3 e

p 3,68 k N

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Vamos agora usar o Piviti-Povotó:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2   T 2 = P 2 V 2 P 1 V 1 . T 1

Usando os valores do enunciado e o valor da pressão da letra a :

T 2 = 3,68.10 3 . 2 10,0.10 3 . 1 . 1200 883,2 K

T 2 = 883,2   K

Passo 3

c   O trabalho realizado pelo gás é dado por:

W = V i V f p d V

Sendo que p é uma função de V ! Logo, a integral fica:

W = V i V f p i e V i - V a d V  

Resolvendo:

W = V i V f p i e V i - V a d V    

W = p i V i V f e V i - V a d V    

W = - p i . a . e V i - V f a - - p i . a . e V i - V f a

W = p i . a - p i . a . e V i - V f a

Aplicando os valores do enunciado:

W = p i . a - p i . a . e V i - V f a  

W = 10 x 10 3 . 1   - 10 x 10 3 . 1 . e 1 - 2 1

W = 10 4 - 10 4 e

W 6,32 k J

Passo 4

d   Bom, como o próprio enunciado nos indicou, é melhor escolher processos reversíveis simples que liguem os pontos iniciais e finais para calcular a variação de entropia total.

Vamos escolher dois processos diferentes, calcular a variação da entropia de cada um e, no fim, soma-las, obtendo a variação total.

Vamos escolher primeiro um processo isotérmico. Usando a primeira lei:

U = Q - W

Sendo U = 0 , já que o processo é isotérmico, o que quer dizer que não há variação de temperatura e, logo, não há variação de energia interna. Então ficará:

W = Q

Como o trabalho realizado pelo um gás numa transformação isotérmica é dado por:

W = n R T l n V f V i

Logo, o calor será:

Q = W = n R T l n V f V i

Aplicando os valores do enunciado:

Q = 1 x 8,34 x 1200 x ln 2 1 6937 J

A variação de entropia é dada por:

S = d Q T  

Como T é constante:

S = d Q T = 1 T . d Q = Q T

Logo:

S = Q T = 6937 1200

Δ S = 5,78 J / K

Que é a nossa primeira variação de entropia. Vamos chama-la de S 1 .

Como há variação de temperatura, vamos tomar algum um processo isovolumétrico. A gente vai ver que nesse caso a variação da temperatura vai gerar a variação da entropia:

Nesse processo, o trabalho é igual a 0: W = 0 , e o valor de Q é dado por:

Q = n c v T   d Q = n c v d T

Logo, a variação de entropia será:

S = d Q T = n c v d T T  

Integrando em relação a T :

S = n c v ln T f T i

Como o gás é monoatômico, c v = 3 2 R , n = 1 , T f = 885 K e T i = 1200 K :

S = 3 2 R . ln 885 1200

Δ S - 3.79 J / K

Pronto! A variação total será a soma das duas:

S t o t a l = S 1 + S 2     S t o t a l

S t o t a l = 5,78   - 3.79

S t o t a l = 1.99 J / K  

Resposta

a   3,68 k N

b   883,2 K

c   6,32 k J  

d   1.99 J / K    

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