Exercícios Resolvidos de Variação da Entropia de um Gás Ideal

Primeira Lei e Gases Ideais, Segunda Lei da Termodinâmica, Ciclos Termodinâmicos e Máquinas Térmicas

Um mol de gás ideal monoatômico, partindo sempre do estado inicial de volume V 0 , pressão p 0 e temperatura T 0 , dobra a temperatura por quatro processos diferentes. O processo 1 é a volume constante, o processo 2 é isobárico, o 3 é linear com pressão final p = 3 2 p 0 e 4 é adiabático. Dê as respostas em função de p 0 , V 0 e R .

a ) Coloque na tabela os valores da pressão p f e do volume V f no final de cada processo. Represente cada processo no diagrama p × V .

b ) Calcule a variação da energia interna Δ E i n t para cada um dos processos.

c ) No processo 3 , calcule o trabalho W e o calor Q trocado.

d ) Calcule o trabalho realizado e a variação de entropia nos processos 2 e 4 .

Passo 1

Antes de atacar esse problema, vamos reunir as informações dadas:

T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = 2 . T 0

V 1 = V 0

p 2 = p 0

p 3 = 3 2 p 0

a )

Vamos primeiro analisar o processo 1 :

Já sabemos que V 1 = V 0 , vamos então descobrir p 1 , para isso, vamos usar a lei dos gases ideais, ao final do processo 1 , temos:

p 1 . V 1 = n . R . T 1

p 1 . V 0 = n . R . ( 2 . T 0 )

Antes do processo 1 ocorrer, temos:

p 0 . V 0 = n . R . T 0

dividindo a equação dado para o fim do processo pela equação antes do processo começar, temos:

p 1 . V 0 p 0 . V 0 = n . R . 2 . T 0 n . R . T 0

p 1 = 2 . p 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para o processo 2 , utilizaremos o mesmo processo, sabendo que a pressão permanece constante, precisamos apenas determinar o volume:

Ao fim do processo, temos:

p 2 . V 2 = n . R . T 2

p 0 . V 2 = n . R . ( 2 . T 0 )

Antes de o processo ocorrer, temos:

p 0 . V 0 = n . R . T 0

Dividindo as equeçoes, temos:

p 0 . V 2 p 0 . V 0 = n . R . 2 . T 0 n . R . T 0

V 2 = 2 . V 0

Passo 3

Para o processo 3 , já sabemos o valor da pressão final, precisamos determinar o volume, vamos novamente utilizar o mesmo procedimento de antes:

Ao fim do processo, temos:

p 3 . V 3 = n . R . T 3

3 2 . p 0 . V 3 = n . R . 2 . T 0

Antes de o processo ocorrer, temos:

p 0 . V 0 = n . R . T 0

Dividindo as equações, temos:

3 2 . p 0 . V 3 p 0 . V 0 = n . R . 2 . T 0 n . R . T 0

V 3 = 4 3 V 0    

Passo 4

Agora vamos para o processo 4 . Como se trata de um processo adiabático, teremos:

T 4 . V 4 γ - 1 = T 0 . V 0 γ - 1

2 . T 0 . V 4 γ - 1 = T 0 . V 0 γ - 1

Para um gás ideal, temos que :

γ = C p C v = C v + R C v

γ = 3 2 R + R 3 2 R = 5 3

Voltando à equação para o processo, temos:

2 . T 0 . V 4 5 3 - 1 = T 0 . V 0 5 3 - 1

V 4 = 0,35 . V 0

Agora só falta determinar a pressão, para isso, vamos fazer:

p 4 . V 4 γ = p 0 . V 1 γ

p 4 . 0,35 . V 0 5 3 = p 0 . V 0 5 3

p 4 = p 0 0,35 5 3

p 4 = 5,75 . p 0

Agora é só montar a tabela e o diagrama:

Para o diagrama, teremos:

Passo 5

b )

Para determinar a variação da energia interna, vamos relembra a sua definição para gases monoatômicos:

Δ E i n t = 3 2 . n . R . Δ T

Como a variação de temperatura é a mesma em todos os processos, a variação da energia interna será a mesma em todos os processos:

Δ E i n t = 3 2 . 1 . R . ( 2 . T 0 - T 0 )

Δ E i n t = 3 2 . R . T 0

Sabendo que:

p 0 . V 0 = n . R . T 0

T 0 = p 0 . V 0 n . R

Substituindo na equação da energia interna, temos:

Δ E i n t = 3 2 . R . p 0 . V 0 n . R

Δ E i n t = 3 2 . p 0 . V 0

Passo 6

c )

Vamos analisar o processo 3 . Mas primeiramente vamos reunir os dados pertinentes a esse processo:

p 3 = 3 2 p 0

V 3 = 4 3 V 0

Para determinar o trabalho, podemos calcular a área abaixo da curva do processo linear, podemos ver, pelo diagrama que se trata de um trapézio, portanto, temos:

W = 3 2 . p 0 + p 0 2 . 4 3 . V 0 - V 0

W = 5 12 . p 0 . V 0

Passo 7

Agora que temos o trabalho e a energia intera já calculados, podemos, pela primeira lei da termidinâmica calcular o calor trocado:

Q = W + Δ E i n t

Q = 5 12 .   p 0 . V 0 + 3 2 . p 0 . V 0

Q = 23 12 . p 0 . V 0

Passo 8

d )

Vamos primeiro analisar o processo 2 . Por ser um processo isobárico, temos, que o trabalho é dado por:

W = p . Δ V

W = p 0 . 2 . V 0 - V 0

W 2 = p 0 . V 0

Para a variação de entropia, temos:

Δ S = ∫ d Q T

Substituindo Q por n . C p . Δ T , temos:

Δ S = ∫ n . C p . d T T

Δ S = n . C p . ln ⁡ T 2 T 0

Δ S = 1 . 5 2 . R . ln ⁡ 2 T 0 T 0

Δ S 2 = 5 2 . R . ln ⁡ 2

Passo 9

Agora vamos analisar o processo 4 . Por se tratar de um processo adiabático, temos que a troca de calor é zero, portanto, a variação da entropia também é zero!

Δ S 4 = 0

Agora vamos calcular o trabalho realizado. Pela primeira lei da termodinâmica, temos:

Q = W + Δ E i n t

Como temos que Q = 0 , fica:

W = - Δ E i n t

Ainda bem que já calculamos a variação da energia interna:

W 4 = - 3 2 . p 0 . V 0

Resposta

a )

b ) Δ E i n t = 3 2 . p 0 . V 0

c ) W = 5 12 . p 0 . V 0 ; Q = 23 12 . p 0 . V 0

d ) W 2 = p 0 . V 0 ;   Δ S 2 = 5 2 . R . ln ⁡ 2 ; Δ S 4 = 0 ; W 4 = - 3 2 . p 0 . V 0

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