Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Abaixo, cada “quadradinho” representa um número diferente de zero (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes!). Assinale a matriz que pode ter um autovalor nulo:

a )   ∎ 0 ∎ ∎ ∎ ∎ 0 0 ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ 0 ∎ ∎

b)   ∎ ∎ ∎ 0 ∎ 0 ∎ ∎ ∎ 0 0 ∎ ∎ 0 0 0

c) 0 ∎ 0 ∎ ∎ ∎ ∎ 0 0 0 ∎ ∎ 0 ∎ 0 0

d)   ∎ 0 ∎ 0 ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ 0 ∎ ∎ 0 0 ∎ 0

Passo 1

Para ter autovalor 0, a dimensão do núcleo deve ser maior que zero! Isso acontece quando temos menos linhas do que colunas.

Mas pera aí, todas essas matrizes são 4 × 4 , e aí?

E aí que quando eu falo de ter menos linhas que colunas, to falando de linhas não redundantes, ou seja, aquelas que não são C L ’s das outras.

Assim, devemos ver entre essas matrizes qual pode ter uma ou mais linhas C L ’s das outras.

A resposta vai ser a letra a)   ∎ 0 ∎ ∎ ∎ ∎ 0 0 ∎ ∎ ∎ ∎ ∎ 0 ∎ ∎ pois as duas últimas linhas podem ser multiplas uma da outra!

Resposta

a

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Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 4 - λ 3 - 7
Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 3 - 2 λ 2 + λ + 5
No Exercício 11, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 1 0 1 1 - 1 1
No Exercício 10, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = - 2 - 1 2 2 1 - 2
No Exercício 12, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 6 4 0 0 4 0