Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

I -     Se uma matriz possui autovetor, ela é inversível

I I - Se uma matriz quadrada não possui autovetores, ela não é inversível

(a) I   é   f a l s a   e   I I   é   v e r d a d e i r a

(b)   Ambas são falsas

(c) Ambas são verdadeiras

(d)   I   é   v e r d a d e i r a   e   I I   é   f a l s a

Passo 1

A primeira afirmativa é falsa!

Vamos supor que o autovetor que a matriz possui pertence ao núcleo, ou seja, autoespaço associado ao λ = 0 . Assim, a dimensão do núcleo vai ser maior que zero e consequentemente, o determinante da matriz vai ser nulo!

Quando o determinante é igual a zero, a matriz não é inversível.

Assim, provamos que essa afirmação I não está correta!

Passo 2

Essa afirmativa também vai ser falsa!

Se a matriz quadrada não possui autovetores, ela não vai ter o autovalor λ = 0 como autovalor. Ou seja, o seu núcleo vai ter dimensão 0.

Assim, o determinante vai ser diferente de 0 e consequentemente a matriz vai ser inversível!

Resposta

b

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