Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja

Considere as seguintes afirmações.

(I) A possui dois autovalores reais distintos;

(II) A é diagonaliz ́avel sobre C ;

(III) A 90 possui dois autovalores reais distintos.

Assinale a alternativa correta:

(a) todas as afirmações são falsas;

(b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;

(c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;

(d) todas as afirmações são verdadeiras;

(e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!

Começando pela primeira. A possui dois autovalores reais distintos. Como

Seus autovalores são dados pelas raízes do polinômio definido por

p ( x ) = d e t ( A - x I )

nesse caso, o polinômio é:

p ( x ) = ( 4 i - x ) ( - 5 i - x ) - 18

= x 2 + i x + 2

cujas raízes são:

i   e   - 2 i

Logo os autovalores de A são complexos. A primeira afirmação é falsa

Passo 2

A segunda afirmação diz que A é diagonaliz ́avel sobre C

Como vimos no passo anterior que A tem dois autovalores complexos distintos, logo terá 2 autovetores LI, o que implica que A é diagonalizável sobre C . Então, a segunda afirmação é verdadeira.

Por fim, a terceira afirmação diz que A 90 possui dois autovalores reais distintos. Como A é diagonalizável. Temos que

A 90 = ( P D P - 1 ) 90

= P D 90 P - 1

Uma vez que D é a matriz diagonal contendo os autovalores de A . Temos que

D 90 = d i a g   ( i 90 , ( - 2 i ) 90 )

= d i a g ( - 1 , - 2 45 )

Logo como A 90 também é diagonalizável. Seus autovalores serão

- 1   e   - 2 45

Ambos Reais. Logo a terceira afirmação é verdadeira.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e)

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Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 3 - 2 λ 2 + λ + 5
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No Exercício 10, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = - 2 - 1 2 2 1 - 2
No Exercício 12, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 6 4 0 0 4 0