Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja fixado um sistema de coordenadas Σ   =   ( O ,   B )   no espaço, com B

uma base ortonormal. Considere a quádrica de equação

2 x 2   + y 2   +   2 z 2   - 2 x z   +   2 x   +   2 y   +   2 z   =   3

e suponha que uma equação reduzida para essa quádrica seja

3 u 2   +   v 2   +   w 2   =   k

para um certo   k   ∈   R . Sabe-se que 3 é um autovalor da matriz

e que:

A ( 1,0 , 1 ) T   =   ( 1,0 , 1 ) T e A ( 0,1 , 0 ) T     =   ( 0,1 , 0 ) T

O valor de k é:

  1. 3
  2. 1
  3. 5
  4. 2
  5. 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin, dessa vez envolvendo quádricas. Nosso objetivo é descobrir quem é a constante k da equação reduzida da quádrica

2 x 2   + y 2   +   2 z 2   - 2 x z   +   2 x   +   2 y   +   2 z   =   3

que tem como equação reduzida

3 u 2   +   v 2   +   w 2   =   k

E para isso, nos é informada os autovalores da matriz A e dois de seus autovetores.

Como estamos trabalhando com 3 variáveis, essa questão parece assustadora, mas vamos ver que a resolução é muito parecida com o caso com 2 variáveis. Vamos nessa!!!

Passo 2

O enunciado diz que a equação reduzida da quádrica é:

3 u 2   +   v 2   +   w 2   =   k

Contudo, nossa equação original é da forma

2 x 2   + y 2   +   2 z 2   - 2 x z   +   2 x   +   2 y   +   2 z   =   3

Então como passamos de uma equação para outra?

Vamos usar a diagonalização!!!! Mas como assim???? Vem comigo!!!

Nossa quádrica pode ser reescrita na forma matricial da seguinte forma

( x , y , z ) A ( x , y , z ) T   +   ( 2 , 2 , 2 ) ( x , y , z ) T   =   3

Então se conseguíssemos escrever A como uma matriz diagonal, os termos cruzados iriam desaparecer. Mas A é uma matriz quadrada, simétrica, e temos seus autovalores. Logo, existe uma base onde A é diagonal.

A pergunta agora é: Que base é essa? E como fica A nessa nova base?

Passo 3

Para responder as perguntas que fizemos no passo anterior, vamos lembrar que como A é diagonalizável, então

A   =   P D P - 1

Então

P - 1 A P   =   D

Normalizando os autovetores, temos que:

P T A P   =   D

com D matriz diagonal onde suas entradas são os autovalores de A

Tá, mas como usamos isso a nosso favor? Vamos fazer a seguinte mudança de base:

( x , y , z ) T   = P ( u , v , w ) T  

Vamos substituir isso na expressão da quádrica na forma matricial. Ela fica:

( u , v , w ) P T A P ( u , v , w ) T   +   ( 2 , 2 , 2 ) P ( u , v , w ) T   =   3

então:

( u , v , w ) D ( u , v , w ) T   +   ( 2 , 2 , 2 ) P ( u , v , w ) T   =   3

Passo 4

Já temos todo o caminho bem definido, mas ainda precisamos calcular quem é P . E para isso, precisamos do autovetor associado ao autovalor 3 da matriz A . Vamos encontrá-lo!!!

Para encontrar esse vetor, precisamos resolver o sistema

A ( x , y , z ) T   =   3 ( x , y , z ) T

Fazendo o produto matriz vetor temos o seguinte sistema de equações:

2 x   -   z   =   3 x

y = 3 y

- x   + 2 z   =   3 z

Cuja solução é:

( 1,0 , - 1 )

Passo 5

Prontinho, agora só precisamos desenvolver a expressão

( u , v , w ) D ( u , v , w ) T   +   ( 2 , 2 , 2 ) P ( u , v , w ) T   =   3

Lembrando que D é:

e que P é:

onde suas colunas são os autovetores normalizados

então

( u , v , w ) D ( u , v , w ) T   +   ( 2 , 2 , 2 ) P ( u , v , w ) T   =   3

⇒ 3 u 2   +   v 2   +   w 2   +   u + w + 2 v - u + w   =   3

⇒ 3 u 2   +   v 2   +   w 2   +   2 w + 2 v =   3

(somando e subtraindo 2 para completar os quadrados)

⇒ 3 u 2   +   ( v   +   1 ) 2   +   ( w + 1 ) 2   - 2   =   3

⇒ 3 u 2   +   ( v   +   1 ) 2   +   ( w + 1 ) 2   =   5

Com isso temos que

k   =   5

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

k   =   5

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