Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja n   um inteiro maior do que 1 e seja A   ∈ M n ( R ) . Se 1,1 , … ,   1 é um autovetor de A associado ao autovalor λ , então

a   A   s o m a   d a s   c o l u n a s   d a   m a t r i z   A - λ I n   é   o   v e t o r   n u l o .

b   A   s o m a   d a s   l i n h a s   d a   m a t r i z   A   é   o   v e t o r   n u l o

c   A   s o m a   d a s   c o l u n a s   d a   m a t r i z   A   é   o   v e t o r   n u l o

d   A   s o m a   d a s   l i n h a s   d a   m a t r i z   A - λ I n   é   o   v e t o r   n u l o

e   A   s o m a   d o s   e l e m e n t o s   n a   d i a g o n a l   p r i n c i p a l   d a   m a t r i z   A - λ I n   é   z e r o .

Passo 1

Falaaa, blz?? Vamos começar escrevendo o que sabemos sobre os elementos falados na questão.

v   é   a u t o v e t o r   a s s o c i a d o   a   λ ,   e n t ã o :

A v = λ v

A v - λ v = 0   → A - λ I n v = 0 →

Passo 2

Mas veja que essa equação tem duas soluções:

A - λ I n = 0 →   e   v = 0 →

Mas 1,1 , … , 1 ≠ 0   ,   l o g o   A - λ I n = 0 →    

Passo 3

Ou seja, a soma das colunas da matriz A - λ I n é igual a do vetor nulo, que é zero.

Resposta

Letra A

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