Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Q4. Sejam V um espaço vetorial, T : V → V um operador linear, v ,   w ∈ V vetores não nulos e λ , μ ∈ R autovalores de T . Assum que v seja um autovetor de T associado ao autovalor λ e que w se já um autovetor de T associado ao autovalor μ . Considere as seguintes afirmações:

(I) se v + w for um autovetor de T , então λ = μ ;

(II) se T for bijetor, então λ ≠ 0 e 1 λ será um autovalor de T - 1 ;

(III) o operador T ∘ T + I não tem autovalores, em que I denota o operador identidade de V .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (III) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

d) apenas a firmação (I) é necessariamente verdadeira;

e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??? Vamos analisar cada uma das afirmações!

(I) se v + w for um autovetor de T , então λ = μ ;

Isso é falso. Podemos mostrar um contraexemplo: suponha que λ ≠ u e ntão v + w não seria um autovetor associado a um único autovalor, contradizendo a afirmação.

Passo 2

(II) se T for bijetor, então λ ≠ 0 e 1 λ será um autovalor de T - 1 ;

Isso é verdadeiro. Se T é bijetor, então T - 1 existe. O fato de λ ser um autovalor de T implica que λ ≠ 0 e (um operador linear não pode enviar um vetor não nulo para o vetor nulo).

Além disso, se:

T v = λ v

Então:

T - 1 T v = T - 1 λ v

v = T - 1 λ v

Ou seja, 1 λ será um autovalor de T - 1 .

Passo 3

(III) O operador T ∘ T + I não tem autovalores, em que I denota o operador identidade de V .

Isso é falso. Considere:

T = 0 - 1 1 0

Onde T pertence aos números reais. Então T 2 = - I e T ∘ T + I = 0 , o que significa que todos os números reais são autovalores de   T ∘ T + I .

Temos I f a l s o ,   I I v e r d a d e i r o   I I I f a l s o .   Portanto, a alternativa correta é:

c) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira.

Resposta

Letra (c)

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