Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Sejam n um inteiro positivo e A , B ∈ M n ( R ) matrizes semelhantes. Assinale a alternativa contendo uma afirmação que NÃO é necessariamente verdadeira:

  1. Para qualquer v ∈ R n , se v for um autovetor de A , então v será um autovetor de B ;
  2. Para qualquer λ ∈ R , se λ for um autovalor de A , então λ será um autovalor de B ;
  3. As matrizes transpostas A t e B t são semelhantes;
  4. As matrizes A k e B k são semelhantes, para todo inteiro k ≥ 1 ;
  5. As matrizes A e B possuem o mesmo polinômio característico.

Passo 1

Faaaaala, pessoal! As matrizes A e B serem semelhantes implica que:

A = M - 1 B M

Para alguma matriz inversível M ∈ M n ( R ) . Segue:

p A t = det ⁡ A - t I = d e t ⁡ ( M - 1 B M - t M - 1 M )

= det ⁡ ( M - 1 ( B - t I ) M ) =

= det ⁡ M - 1 det ⁡ B - t I det ⁡ M =

= 1 det ⁡ M   det ⁡ B - t I det ⁡ M =

= d e t ⁡ ( B - t I )

= p B ( t )

As raízes de p A ( t ) são autovalores de A , assim B tem os mesmos autovalores e o mesmo polinômio característico, com ( b ) e ( e ) corretas.

Passo 2

Continuando, se A = M - 1 B M , então A 2 = M - 1 B M M - 1 B M = M - 1 B 2 M e, repetindo, obtemos A k = M - 1 B k M para todo k ≥ 1 . Logo, A k e B k são semelhantes e ( d ) é verdadeira.

E ainda, veja que, transpondo: A t = M t B t M - 1 t . Contudo, de M M - 1 = I segue que M - 1 t M t = I t = I , logo M - 1 t = M t - 1 , donde: A t = M t B t M t - 1 e alternativa ( c ) é verdadeira.

Passo 3

Para provar que ( a ) é falsa, basta encontrar um contra-exemplo. Assim, buscando matrizes simples que satisfaçam encontramos:

A = 1 0 0 - 1                           B = 0 1 1 0  

São semelhantes. O vetor 1,0 é autovetor de A com autovalor 1 :

A 1,0 T = 1 0 0 - 1 1 0 = 1 0

Mas não é autovetor de B :

B 1,0 T = 0 1 1 0 1 0 = 0 1  

Resposta

  1. Para qualquer v ∈ R n , se v for um autovetor de A , então v será um autovetor de B ;

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