Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Seja V = P 2 espaço vetorial com < , > . Seja T : V → V um operador ortogonal. Suponha que λ 1 e λ 2 são autovalores de T tais que λ 1 ∙ λ 2 ≠ 1 . Mostre que se v 1 e v 2 são autovetores associados aos autovalores λ 1 e λ 2 ,   respectivamente; então v 1 e v 2 são ortogonais.

Passo 1

Se λ 1 e λ 2 são autovalores de T e v 1 e v 2 são os autovetores associados, sei que:

T v 1 = λ 1 v 1 e T v 2 = λ 2 v 2

O enunciado também diz que é um operador ortogonal, para isso, a seguinte igualdade deve ser verdadeira para quaisquer u e w em V :

T ( u ) , T ( w ) = u , w

Logo, deve valer para v 1 e v 2 :   T ( v 1 ) , T ( v 2 ) = v 1 , v 2

Passo 2

Vou desenvolver isso que achamos que deve ser verdade para tentar provar que v 1 é ortogonal a v 2 .

T v 1 = λ 1 v 1 e T v 2 = λ 2 v 2

T ( v 1 ) , T ( v 2 ) = v 1 , v 2

Substituindo as transformações:

λ 1 v 1 , λ 2 v 2 = v 1 , v 2

Pela linearidade do produto interno, posso passar as constantes para fora:

λ 1 λ 2 v 1 , v 2 = v 1 , v 2

λ 1 λ 2 v 1 , v 2 - v 1 , v 2 = 0

λ 1 λ 2 - 1 v 1 , v 2 = 0

Repara que tem mais uma informação do enunciado que ainda não usamos, λ 1 ∙ λ 2 ≠ 1 . Isso indica pra gente que   λ 1 λ 2 - 1 ≠ 0 . Ou seja, para que a multiplicação do produto interno com esse termo se anule, o produto interno   v 1 , v 2 deve ser igual a zero. Ou seja, os vetores devem ser ortogonais!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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