Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Sejam A e B matrizes quadradas 3 × 3 tais que seus elementos não são todos iguais. As linhas de A são todas iguais e as colunas de B são todas iguais. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. 0 sempre é autovalor de A , mas nunca é autovalor de B .
  2. 1,1 , 1 sempre é autovetor de A , mas nunca é autovetor de B .

a   A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

b   A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

c   Ambas são falsas.

d   Ambas são verdadeiras.

Passo 1

A matriz A é assim:

a b c a b c a b c

Se pegarmos o sistema homogêneo e removermos as linhas repetidas, teremos:

a b c 0

Temos 3 variáveis e 1 equação, então nosso núcleo tem dimensão 2 . E sabemos que se a dimensão do núcleo é maior que 0 então a matriz tem obrigatoriamente o autovalor 0 .

Já a matriz B é assim:

a a a b b b c c c

Está claro que a dimensão da imagem é 1 ? Temos apenas um vetor nas colunas da matriz. Então pelo T N I a dimensão do núcleo é 2 , logo a matriz B também tem o autovalor 0 .

Então 0 sempre é autovalor das duas matrizes e essa afirmação é falsa.

Passo 2

Se 1 , 1,1 é autovetor então ao aplicarmos ele nessas matrizes temos que receber um múltiplo dele. Aplicando em A :

a b c a b c a b c 1 1 1 = a + b + c a + b + c a + b + c = a + b + c 1 1 1

Beleza, então ele é autovetor de A , vamos ver a B :

a a a b b b c c c 1 1 1 = 3 a 3 b 3 c = 3 a b c

Opa, o único jeito de 1 , 1,1 ser autovetor é se a = b = c concorda? Mas nesse caso todos os elementos da matriz seriam iguais! E ele falou no enunciado que os elementos delas não são todos iguais. Então 1 , 1,1 realmente nunca será autovetor de B .

Resposta

Letra b

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