Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Se A ∈ M 2 ( R ) é tal que ( 1,1 ) é um autovetor de A associado ao autovalor 1 e (1,2) é um autovetor de A associado ao autovalor 3, então a soma dos elementos da primeira coluna de A 99 é igual a

a   4 - 3 100 ,     b   1 + 3 99 ,     c - 2 + 3 99 ,     d   3 + 3 100 ,     e - 2 - 3 100

Passo 1

Nessa questão nós temos que achar uma forma de associara a matriz A com o que temos no enunciado (autovetores e autovalores). Uma forma de fazer isso é escrever:

A = P D P - 1

Onde P é a matriz formada pelos autovetores de A e D a matriz diagonal com os autovalores de A.

Agora veja que A 2 = P D P - 1 P D P - 1 = P D P - 1 P D P - 1 = P D I D P - 1 = P D 2 P - 1

Agora podemos fazer n vezes esse processo e teremos:

A n = P D n P - 1

Passo 2

Temos que:

D =   1 0 0 3

P = 1 1 1 2

Além disso, vamos achar a inversa de P:

P P - 1 = I   →   1 1 1 2 a b c d = 1 0 0 1

a + c b + d a + 2 c b + 2 d = 1 0 0 1

a + c = 1 b + d = 0 a + 2 c = 0 b + 2 d = 1

Resolvendo, temos que:

c = - 1 ; a = 2 ; d = 1 ; b = - 1

Logo:

P - 1 =   2 - 1 - 1 1

Passo 3

Agora vamos achar D n .

D =   1 0 0 3

D 2 = 1 0 0 3   1 0 0 3 = 1 0 0 3 2

D 3 =   1 0 0 3 2 1 0 0 3 = 1 0 0 3 3

Assim, conseguimos afirmar que:

D n = 1 0 0 3 n

A n = P D n P - 1 =   1 1 1 2 1 0 0 3 n 2 - 1 - 1 1 = 1 1 1 2 2 - 1 - 3 n 3 n

=   2 - 3 n - 1 + 3 n 2 - 2 ∙ 3 n - 1 + 2 ∙ 3 n

Para acharmos A 99 basta substituir n por 99.

A 99 = 2 - 3 99 - 1 + 3 99 2 - 2 ∙ 3 99 - 1 + 2 ∙ 3 99  

Logo a soma dos elementos da primeira coluna é:

2 - 3 99 + 2 - 2 ∙ 3 99 = 4 - 3 ∙ 3 99 = 4 - 3 100

Resposta

Letra A

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