Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Q5. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno ⋅ , ⋅   e T : V → V um operador linear tal que

T v , T w = v , w ,

Para todos v , w ∈ V . Suponha que λ ∈ R seja um autovalor de T . Pode-se afirmar que:

a) λ > 1 ou λ < - 1 ;

b) λ = 0 ;

c) λ > 0 ;

d) λ = 1 ou λ = - 1 ;

e) λ < 0 .

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos analisar a equação do produto interno das transformações lineares.

Pra isso vamos lembrar que, se λ é um autovalor e u o seu autovetor associado, então:

T u = λ u

Passo 2

Então temos:

T v = λ v

T w = λ w

Jogando na equação:

T v , T w = v , w

λ v , λ w = v , w

λ 2 v , w = v , w

λ 2 v , w - v , w = 0

( λ 2 - 1 ) v , w = 0

Então:

λ 2 - 1 = 0

λ = ± 1

Letra d

Resposta

Letra d

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