Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Sejam A = 7 0 - 1 0 1 0 12 0 0 e v → = 1 ,   y ,   z um autovetor associado ao autovalor 4 . Quanto vale z ?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6

Passo 1

Belezoca galerinha, o enunciado tá afirmando pra gente que o vetor v → = 1 ,   y ,   z é um autovetor da matriz A associado ao autovalor 4

Mas calma aí chefe, porque uma matriz A , seu autovalor λ = 4 e seu autovetor   v → se associam de acordo com a equação:

A v → = λ v →

Ou seja, para os valores da questão, temos:

A 1 ,   y ,   z = 4 1 ,   y ,   z

Passo 2

Agora que a gente sabe como que fica nossa igualdade, podemos substituir o valor de A

A = 7 0 - 1 0 1 0 12 0 0

Logo:

A 1 ,   y ,   z = 4 1 ,   y ,   z

7 0 - 1 0 1 0 12 0 0 1 y z = 4 1 y z

E efetuando a multiplicação, temos que:

7 ( 1 ) 0 ( y ) - 1 ( z ) 0 ( 1 ) 1 ( y ) 0 ( z ) 12 ( 1 ) 0 ( y ) 0 ( z ) = 4 4 y 4 z

7 0 - z 0 y 0 12 0 0 = 4 4 y 4 z

E como a gente é malandro, vamos olhar só pra primeira linha, ela tá dizendo que:

7 + 0 - z = 4

Logo:

z = 7 - 4

z = 3

Então ficou iradoso, isso quer dizer que o valor de z = 3 , e nossa alternativa certa é a letra (a).

Passo 3

Resposta

Letra a, z = 3 .

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