Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Q4. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:

a) se T : C 2 → C 2 for um operador linear que seja representado na base canônica de C 2 por uma matriz real e se 2 + i , 3 + 2 i   for um autovetor de T , então 2 - i , 3 - 2 i também será um autovetor de T ;

b) se A ∈ M 2 C for tal que seu polinômio característico tenha duas raízes reais distintas, então A ∈ M 2 R ;

c) se o polinômio característico de A ∈ M 2 C tiver coeficientes reais e se i for um autovalor de A , então existirá uma matriz inversível P ∈ M 2 C tal que P - 1 A P seja diagonal;

d) se o polinômio característico de A ∈ M 2 C tiver coeficientes reais e se i for um autovalor de A , então - i também será um autovalor de A ;

e) se A ∈ M 2 R for tal que seu polinômio característico tenha uma raiz complexa não real, então A será diagonalizável sobre C .

Passo 1

Falaaa... belezinha???

Nessa questão vamos analisar as afirmações e encontrar a FALSA.

Passo 2

Repara na letra B...

Nós não podemos afirmar que a matriz seja toda de números reais. Por exemplo a matriz:

A = 1 1 + i 1 - i 2

Para o polinômio característico:

p t = det ⁡ 1 - t 1 + i 1 - i 2 - t = 0

1 - t 2 - t - 1 2 - i 2 = 0

2 - 3 t + t 2 - 2 = 0

t 2 - 3 t = 0

t t - 3 = 0

t = 0   o u   t = 3

Temos duas raízes reais, maaas temos entradas complexas na matriz.

Letra b

Resposta

Letra b

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