Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Q12. Sejam n ≥ 2 um inteiro e A a matriz n × n cujas entradas sejam todas iguais a 1. Considere as seguintes afirmações:

(i) A não é diagonalizável sobre R

(ii) n é um autovalor de A ;

(iii) 0 é uma raiz do polinômio característico de A cuja multiplicidade é igual a n - 1 .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

b) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

d) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação (iii) é necessariamente verdadeira;

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos analisar as afirmações e dizer quais são necessariamente verdadeiras.

Passo 2

Vamos começar olhando o caso mais simples que é:

A = 1 1 1 1

Para achar os autovalores:

det ⁡ A - λ I = 0

1 - λ 1 1 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 1 = 0

λ = 0   o u   λ = 2

Como a matriz A é simétrica e seus autovalores são reais e distintos, já podemos dizer que ela é diagonalizável.

(i) é falsa.

Passo 3

Agora vamos pensar numa matriz n × n :

1 1 1 1 1 1 ⋱ 1 1 1

E pra achar os autovalores:

det ⁡ 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ = 0

Aplicando o teorema de Laplace na primeira linha, temos:

1 - λ 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ + 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ

+ 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ + … + = 0

1 - λ 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ + n - 1 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ = 0

1 - λ + n - 1 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ = 0

Então:

1 - λ + n - 1 = 0

λ = n

Portanto, a (ii) é verdadeira;

Passo 4

Repara que:

1 - λ + n - 1 1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ = 0

Para achar os outros autovalores diferentes de n teremos que fazer:

1 - λ 1 1 1 1 - λ 1 ⋱ 1 1 1 - λ = 0

E isso só vai acontecer quando λ = 0 e repara também que a matriz tem dimensão n - 1

Então a (iii) também é verdadeira.

Letra a

Resposta

Letra a

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