Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Sejam A e B matrizes quaisquer, 2 x 2 e 3 x 3 , respectivamente. Assinale a alternativa correta:

a) B possui um autovetor em R 3

b) Existe uma base de R 3 formada por autovetores de B

c) Existe uma base de R 2 formada por autovetores de A

d) A possui um autovetor R 2

e) Não sei.

Passo 1

Bem, a alternativa correta nesse caso é a letra A, vamos analisar o motivo:

a ) B é uma matriz 3 x 3 . Logo, ao calcular seus autovalores sempre vamos ter 3 raízes e pelo menos uma delas não vai ser complexa (já que as raízes complexas vêm aos pares). Logo, existindo uma raíz real vamos ter também um autovetor, que será em R 3 graças à dimensão de B hehe

b ) e c ) Bem, não podemos garantir que necessariamente vamos ter uma base de autovetores, pois pra isso teríamos que ter autovetores L.I. o que pode nem sempre acontecer.

d ) Ao encontrar os autovalores de A , teremos 2 raízes, porém ela podem ser complexas e isso não nos permitiria achar um autovetor :(

Resposta

a) B possui um autovetor em R 3

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