Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Suponha que a matriz A 3 × 3 tem dois autovalores distintos, λ 1 e λ 2 , e que

v → = ( 1 ,   1 ,   0 )

w → = ( 0 ,   1 ,   1 )

são autovetores associados ao autovalor λ 1 .

Qual dos vetores abaixo poderia ser um autovetor associado a λ 2 ?

( a ) ( - 1 ,   0 ,   1 )

( b ) ( - 1 ,   1 ,   2 )

( c ) ( 1 ,   2 ,   2 )

( d ) ( 1 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Cada autovalor do espectro deve ser sempre associado a um autoespaço independente.

Isso significa que o autovetor associado a λ 2 não pode pertencer ao v → ,   w → .

Mas veja que o espaço gerado por v → e w → pode ser parametrizado assim:

v → ,   w → = 1 ,   1 ,   0 t + 0,1 ,   1 s

v → ,   w → = ( t ,   t + s ,   s )

x = t y = t + s z = s

Ou seja, o autoespaço gerado por λ 1 é o plano y = x + z .

Passo 2

Agora é só você ver qual das opções não pertence ao autoespaço!

a   y = x + z → 0 = - 1 + 1             ✓

b   y = x + z →   1 = - 1 + 2             ✓

c   y = x + z → 2 = 1 + 2                        

d y = x + z → 2 = 1 + 1         ✓

O único vetor que não pertence ao plano y = x + z é o vetor da letra ( c ) .

Resposta

Letra ( c )

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