Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

Ver Teoria

Enunciado

Considere a matriz

M = 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 4

  1. Determine os autovalores de M .
  2. Determine, para cada autovalor, o autoespaço associado.

Passo 1

a)

Para calcular os autovalores de M vamos fazer aquele clássico determinante:

D E T M - λ I = 1 - λ - 1 0 - 1 1 - λ 0 0 0 4 - λ = 0

D E T M - λ I = 1 - λ 2 4 - λ - 4 - λ = 4 - λ 1 - λ 2 - 1 = 0

4 - λ λ 2 - 2 λ = 4 - λ λ λ - 2 = 0

Temos então 3 autovalores: 0   ,   2   e   4 .

Passo 2

b)

Agora teremos, para cada autovalor, resolver o seguinte sistema:

1 - λ - 1 0 - 1 1 - λ 0 0 0 4 - λ . x y z = 0 0 0

Vamos começar com λ = 0   e n t ã o :

1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 4 . x y z = 0 0 0

x - y = 0 - x + y = 0 4 z = 0

Simplificando:

x = y z = 0

x , y , z = x , x , 0 = x 1,1 , 0 →   < 1,1 , 0 >

Passo 3

Continuando agora com λ = 2 :

- 1 - 1 0 - 1 - 1 0 0 0 2 . x y z = 0 0 0

- x - y = 0 - x - y = 0 2 z = 0

Simplificando:

x = - y z = 0

x , y , z = - y , y , 0 = y - 1,1 , 0 →   < - 1,1 , 0 >

Passo 4

Por fim então λ = 4 :

- 3 - 1 0 - 1 - 3 0 0 0 0 . x y z = 0 0 0

- 3 x - y = 0 - x - 3 y = 0 0 = 0

Simplificando:

x = 0 y = 0

x , y , z = 0,0 , z = z 0,0 , 1 →   < 0,0 , 1 >

Resposta

  1. 0 ,   2   e 4
  2. Respectivamente < 1,1 , 0 > , < - 1,1 , 0 > e < 0,0 , 1 >

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 4 - λ 3 - 7
Encontre d e t ( A ) , sabendo que A tem polinômio característico p ( λ ) . p λ = λ 3 - 2 λ 2 + λ + 5
No Exercício 11, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 1 0 1 1 - 1 1
No Exercício 10, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = - 2 - 1 2 2 1 - 2
No Exercício 12, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = 6 4 0 0 4 0