Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

07) Considere as seguintes matrizes

L = 77 99 π 2 99 e 5 55 π 2 55 11 , M = 7 - 8 i 99 88 0 97 + 79 i π 10 0 0 5 - 8 i   , N =   1 + i 1 1 1 - i

e seja P ∈ M 4 ( R ) uma matriz que tem 3 - 7 i e 88 - π i como autovalores. São diagonalizáveis sobre C .

A) L ,   M e P , apenas.

B) L e M , apenas.

C) L ,   M e N , apenas.

D) N e P , apenas.

E) L ,   M ,   N e P .

Passo 1

Faaaala galera, tudo bom com vocês?

Essa questão é bem direta, ela nos dá 3 matrizes explicitamente ( L ,   M e N ), além da matriz P que são dados dois autovalores. O objetivo da questão é determinarmos quais matrizes são diagonalizáveis.

Certo, mas vocês lembram o que a matriz precisa ter para ser diagonalizável?

Então, para uma matriz ser diagonalizável ela precisa ter autovalores distintos. Ou seja, nenhum autovalor pode ter multiplicidade maior do que 1 . Além disso, sempre que uma matriz é simétrica ela é diagonalizável.

Passo 2

Massa! Agora que revisamos um pouco da teoria, vamos analisar cada matriz, uma a uma.

Começando pela matriz L = 77 99 π 2 99 e 5 55 π 2 55 11 . Esse caso é bem tranquilo, porque a matriz é simétrica. Assim, logo de cara já podemos afirmar que L é diagonalizável.

Olhando agora a matriz M = 7 - 8 i 99 88 0 97 + 79 i π 10 0 0 5 - 8 i , ela infelizmente não é simétrica. Então, vamos precisar calcular os seus autovalores para verificar se todos são diferentes. Daí:

det ⁡ M - λ I = 0

⇒ 7 - 8 i - λ ⋅ 97 + 79 i - λ 5 - 8 i - λ = 0

Esse produto vai gerar o polinômio característico. Bora melhorar ele só um pouquinho:

det ⁡ M - λ I =   λ - ( 7 - 8 i ) ⋅ λ - ( 97 + 79 i ) λ - ( 5 - 8 i )

Daí, a gente já pode perceber que as três raízes do polinômio característico, ou seja, os três autovalores são:

λ 1 = 7 - 8 i ,

λ 2 = 97 + 79 i ,

λ 3 = 5 - 8 i

Logo, como os três são diferentes, temos que M é diagonalizável.

Massa, agora faltam só N e P .

Passo 3

Beleza! Analisando N = 1 + i 1 1 1 - i , vemos logo que ela não é simétrica. Então, vamos precisar calcular o polinômio característico. Daí:

det ⁡ N - λ I = 0

⇒ 1 + i - λ 1 - i - λ - 1 = 0

= 1 - i - λ + i - i 2 - λ i - λ + λ i + λ 2 - 1 = 0

= 1 - 2 λ + λ 2 = 0

Logo:

λ - 1 2 = 0

Ou seja, λ = 1 é raiz do polinômio característico com multiplicidade 2 . Logo, N não é diagonalizável.

Por último, temos a matriz P ∈ M 4 ( R ) . São dados dois autovalores dessa matriz, ou seja, duas raízes do polinômio característico dela: λ 1 = 3 - 7 i e λ 2 = 88 - π i .

Essa informação é bem importante, pois significa que o polinômio característico possui duas raízes complexas. Mas, P ∈ M 4 ( R ) , ou seja, os termos da matriz P são todos reais.

Consequentemente, os coeficientes do polinômio característico também são reais. Assim, pelo teorema das raízes complexas (visto láaaa no ensino médio), os conjugados de λ 1 e λ 2 também são raízes. Assim:

λ 3 = 3 + 7 i

λ 4 = 88 + π i

Logo, a conclusão que chegamos é que P possui 4   autovalores distintos, por isso é diagonalizável!

Prontinho! Apenas M ,   N e P são diagonalizáveis.

Espero que vocês tenham entendido direitinho, até a próxima pessoal 😉

Resposta

Letra A.

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