Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma Matriz

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Enunciado

Considere o espaço vetorial R 3 munido do seu produto interno usual. Seja S   :   R 3   →   R 3 um operador linear e sejam   a ,   b ,   c   ∈   R tais que

( 1 ,   1 ,   1 ) ,   ( 1 ,   - 1 ,   0 )   e   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

sejam autovetores de S associados, respectivamente, aos autovalores a ,   b   e   c . Temos que o operador S será simétrico se, e somente se:

(a) a ≠   b ,   a ≠   c   e   b ≠   c ;

(b) a   =   b ;

(c)   b   =   c ;

(d) b ≠ c ;

(e) a   =   c .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais as condições são necessárias nos autovalores de S para que S seja simétrica. Show? Vamos nessa!!

Como sabemos os autovalores e autovetores de S , temos que:

S = P D P - 1

Onde D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de A e P a matriz onde as colunas são os autovetores de A , onde os autovetores precisam estar na mesma ordem dos seus respectivos autovalores em D .

E como queremos que S seja simétrica, precisamos que

S = S t

Então fazendo as contas temos que:

S = P D P - 1

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que S é:

Logo para ser simétrico, precisamos que

a - 2 b + c 3 = a - b 3

a - c 3 = a - b 3

a - c 3 = a + b - 2 c 3

Da segunda equação temos que:

a - c 3 = a - b 3

⇒ c = b

da terceira equação, temos que

a - c 3 = a + b - 2 c 3

⇒ c = b

da primeira equação, também chegamos a conclusão que

c = b

Logo, a condição necessária para S ser simétrica é c = b que está na letra c )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima quest��o e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c)

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